Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta. y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1
Passo 1
O enunciado pede três coisas: encontrar a solução do problema de valor inicial, esboçar o gráfico dessa solução e descrever o comportamento quando t aumenta. Os dados fornecidos são:
y'' + y' - 2y = 0,
y(0)=1,
y'(0)=1.
Passo 2
Método escolhido (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma dar certo tentar soluções do tipo y(t)=e^{r t}. Por quê? Porque derivando temos y'(t)=r e^{r t} e y''(t)=r^{2} e^{r t}; ao substituir na equação diferencial todos os termos ficam com o fator comum e^{r t} (que nunca é zero), sobrando uma equação algébrica em r. Essa equação algébrica chama-se equação característica e transforma o problema diferencial num problema de encontrar raízes de um polinômio.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo y=e^{r t}:
Interpretação didática dos resultados: obtivemos C_{1}=1 e C_{2}=0. Isso significa que, dentre os dois modos (o modo associado a r=1 que cresce como exponencial positivo e o modo associado a r=-2 que decai como exponencial negativo), apenas o modo crescente está presente na solução particular dada pelas condições iniciais. Não há componente decrescente na solução deste problema específico.
Passo 8
Esboço do gráfico e comportamento quando t aumenta (explicação): como a solução é um exponencial crescente (apenas o termo associado a r=1 fica), o gráfico é a típica curva exponencial que cresce lentamente para t negativos (tendendo a zero) e sobe rapidamente para t positivos. A função é sempre positiva e estritamente crescente; à medida que t\to+\infty ela cresce sem limite (tende a +\infty), e quando t\to-\infty tende a 0^{+}. Um esboço mental: uma curva começando perto de zero à esquerda, passando por y(0)=1 e subindo cada vez mais à direita.
Resposta
y(t)=e^{t}
Gráfico: exponencial crescente passando por (0,1), tende a 0^{+} quando t\to -\infty e cresce para +\infty quando t\to +\infty.
Comportamento para t grande: diverge exponencialmente para +\infty; a função é estritamente crescente.