Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede três coisas: encontrar a solução do problema de valor inicial, esboçar o gráfico dessa solução e descrever o comportamento quando t aumenta. Os dados fornecidos são:
y'' + y' - 2y = 0,
y(0)=1,
y'(0)=1.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma dar certo tentar soluções do tipo y(t)=e^{r t}. Por quê? Porque derivando temos y'(t)=r e^{r t} e y''(t)=r^{2} e^{r t}; ao substituir na equação diferencial todos os termos ficam com o fator comum e^{r t} (que nunca é zero), sobrando uma equação algébrica em r. Essa equação algébrica chama-se equação característica e transforma o problema diferencial num problema de encontrar raízes de um polinômio.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=e^{r t}:
r^{2}e^{r t} + r e^{r t} - 2 e^{r t} = 0 \quad\Rightarrow\quad e^{r t}\bigl(r^{2}+r-2\bigr)=0.
Como e^{r t}\neq 0 para todo t, obtemos a equação característica
r^{2}+r-2=0.
Resolvendo a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm3}{2},
logo as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=-2.

Passo 4

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear dos exponenciais correspondentes:
y(t)=C_{1}e^{r_{1} t}+C_{2}e^{r_{2} t}=\;C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelos dados iniciais.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avaliaremos y(0):
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}.
Pela condição y(0)=1 temos
C_{1}+C_{2}=1. \tag{1}
Agora calculamos a derivada y'(t). Derivando a expressão geral:
y'(t)=C_{1}e^{t}-2C_{2}e^{-2t}.
Avaliaremos em t=0:
y'(0)=C_{1}-2C_{2}.
Pela condição y'(0)=1 obtemos
C_{1}-2C_{2}=1. \tag{2}

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações lineares formado por (1) e (2):
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-2C_{2}=1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_{1}-2C_{2})-(C_{1}+C_{2})=1-1 \Longrightarrow -3C_{2}=0,
logo
C_{2}=0.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=1 vem
C_{1}=1.]

Passo 7

Interpretação didática dos resultados: obtivemos C_{1}=1 e C_{2}=0. Isso significa que, dentre os dois modos (o modo associado a r=1 que cresce como exponencial positivo e o modo associado a r=-2 que decai como exponencial negativo), apenas o modo crescente está presente na solução particular dada pelas condições iniciais. Não há componente decrescente na solução deste problema específico.

Passo 8

Esboço do gráfico e comportamento quando t aumenta (explicação): como a solução é um exponencial crescente (apenas o termo associado a r=1 fica), o gráfico é a típica curva exponencial que cresce lentamente para t negativos (tendendo a zero) e sobe rapidamente para t positivos. A função é sempre positiva e estritamente crescente; à medida que t\to+\infty ela cresce sem limite (tende a +\infty), e quando t\to-\infty tende a 0^{+}. Um esboço mental: uma curva começando perto de zero à esquerda, passando por y(0)=1 e subindo cada vez mais à direita.

Resposta

y(t)=e^{t}
Gráfico: exponencial crescente passando por (0,1), tende a 0^{+} quando t\to -\infty e cresce para +\infty quando t\to +\infty.
Comportamento para t grande: diverge exponencialmente para +\infty; a função é estritamente crescente.

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