O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condição inicial. Dados fornecidos:
y''-y=0,
y(0)=\frac{5}{4},
y'(0)=-\frac{3}{4}.
Pergunta: determinar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Escolhemos uma técnica padrão para equações lineares de coeficientes constantes: procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}, onde r é uma constante a determinar. Explico por quê: a exponencial tem derivadas proporcionais a si mesma, então ao substituir y=e^{rx} na equação diferencial obtém-se uma equação algébrica para r (chamada equação característica), que é fácil de resolver. Não é preciso memorizar muito: só lembrar que essa tentativa transforma derivadas em potências de r.
Passo 3
Substituindo y=e^{rx} obtemos as derivadas
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^{rx} - e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica
r^2 - 1 = 0.
Passo 4
Resolva a equação característica:
r^2 - 1 = 0 \Rightarrow r^2 = 1 \Rightarrow r = 1 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Temos duas raízes reais e distintas, portanto a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Explicação rápida: o espaço de soluções de uma EDO linear de segunda ordem tem dimensão 2; duas soluções linearmente independentes (aqui e^{x} e e^{-x}) geram toda a solução.
Passo 5
Vamos encontrar y'(x) para aplicar a condição inicial em y'. Diferenciando termo a termo:
y'(x) = C_1 e^{x} - C_2 e^{-x}.
Agora aplicamos as condições iniciais em x=0. Como e^{0}=1, obtemos o sistema linear para C_1 e C_2: