Encontre a solução do problema de valor inicial
y^{\prime \prime}-y=0, \quad y(0)=\frac{5}{4}, \quad y^{\prime}(0)=-\frac{3}{4} .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condição inicial. Dados fornecidos:
y''-y=0,
y(0)=\frac{5}{4},
y'(0)=-\frac{3}{4}.
Pergunta: determinar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Escolhemos uma técnica padrão para equações lineares de coeficientes constantes: procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}, onde r é uma constante a determinar. Explico por quê: a exponencial tem derivadas proporcionais a si mesma, então ao substituir y=e^{rx} na equação diferencial obtém-se uma equação algébrica para r (chamada equação característica), que é fácil de resolver. Não é preciso memorizar muito: só lembrar que essa tentativa transforma derivadas em potências de r.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} obtemos as derivadas
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^{rx} - e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica
r^2 - 1 = 0.

Passo 4

Resolva a equação característica:
r^2 - 1 = 0 \Rightarrow r^2 = 1 \Rightarrow r = 1 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Temos duas raízes reais e distintas, portanto a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Explicação rápida: o espaço de soluções de uma EDO linear de segunda ordem tem dimensão 2; duas soluções linearmente independentes (aqui e^{x} e e^{-x}) geram toda a solução.

Passo 5

Vamos encontrar y'(x) para aplicar a condição inicial em y'. Diferenciando termo a termo:
y'(x) = C_1 e^{x} - C_2 e^{-x}.
Agora aplicamos as condições iniciais em x=0. Como e^{0}=1, obtemos o sistema linear para C_1 e C_2:
y(0)=C_1 + C_2 = \frac{5}{4},
y'(0)=C_1 - C_2 = -\frac{3}{4}.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = \dfrac{5}{4},\\[6pt] C_1 - C_2 = -\dfrac{3}{4}, \end{cases}
somamos as duas equações para eliminar C_2:
2C_1 = \frac{5}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
Logo
C_1 = \frac{1}{4}.
Substituindo em C_1 + C_2 = \dfrac{5}{4} temos
C_2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = 1.
Verificação rápida: C_1 - C_2 = \dfrac{1}{4}-1 = -\dfrac{3}{4}, bate com a condição em y'(0).]

Passo 7

Substituindo as constantes na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = \frac{1}{4}e^{x} + e^{-x}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{4}e^{x}+e^{-x}

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