Encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando
?
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
com
O que se pede:
- encontrar a solução
que satisfaz a EDO e as condições iniciais; - fazer (descrever) o gráfico da solução;
- determinar como
se comporta quando .
Passo 2
Método: procurar soluções da forma
. Substituindo na EDO obtemos a equação característica (cada derivada traz um fator
):
Isto resulta de substituir
e dividir por
(que nunca é zero). Agora vamos fatorar esse polinômio.
Passo 3
Testando raízes racionais, vemos que
é raiz, pois
Fazendo divisão (ou soma de coeficientes pela sintética) obtemos o quociente
Testando
neste quociente, obtemos zero, então
também é raiz. Dividindo o quociente por
fica
Esse quadrático tem discriminante
, portanto suas raízes são
Resumo das raízes (todas simples):
Passo 4
Quando as raízes são distintas e reais, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Vou calcular
explicitamente (usando regra da cadeia:
):
Passo 5
Avalio essas expressões em
Agora resolvemos este sistema linear. Subtraindo a primeira equação das outras três para eliminar
usando (A) e (B). Faço (A)-(B):
Também faço (C)-
(B):
Agora temos o sistema em
:
Somando as duas equações elimina
:
Calculando corretamente:
Agora uso (B) para
:
Finalmente
pela primeira equação:
Passo 6
Portanto os coeficientes são
e a solução explícita é
Passo 7
Para esboçar o gráfico sem calculadora use ideias qualitativas:
- Em
temos . - A derivada inicial
, logo tangente horizontal em . - A segunda derivada inicial
indica concavidade para baixo no começo. - Os termos exponenciais com
e crescem quando ; aqui ambos têm coeficientes negativos ( e ), portanto para grandes a solução fica muito negativa. O termo domina o crescimento porque é a maior raiz; como seu coeficiente é , o decrescimento para é rápido. - Para
moderadamente negativos, os termos com expoentes negativos ( ) crescem quando ; com os coeficientes negativos isso também conduz a valores negativos muito grandes em magnitude para . (Não era pedido, mas é útil saber.)
Assim o esboço: começa em
com tangente horizontal e concavidade negativa, e para
grande a curva desce rapidamente, tendendo a
. Se você quiser plotar no computador, basta usar a expressão acima e fazer um gráfico de
em um intervalo, por exemplo
.
Resposta
Gráfico: começa em
com tangente horizontal e concavidade negativa, e para
grande a curva decai rapidamente ficando muito negativa (tende a
).