Encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t \rightarrow \infty ? y^{(4)}-4 y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}=0 ;\quad y(1)=-1, \quad y^{\prime}(1)=2, y^{\prime \prime}(1)=0, \quad y^{\prime \prime \prime}(1)=0
Passo 1
O que o enunciado pede:
Encontrar a solução do problema de valor inicial para a EDO
Substituindo de volta na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(t)=C_1+C_2 t = -3 + 2t.
Verificação rápida: y(1)=-3+2=-1, y'(t)=2 e y''(t)=0, y^{(3)}(t)=0, coerente com as condições.
Passo 9
Gráfico da solução e descrição:
A solução é uma reta de equação
y(t)=2t-3.
Isso é uma linha reta com inclinação 2 (sobe 2 unidades no eixo y a cada 1 unidade em t) e intercepto em y(0)=-3.
Passa pelo ponto dado (1,-1). O zero da função ocorre quando 2t-3=0\Rightarrow t=\tfrac{3}{2}, então a reta cruza o eixo t em t=1{,}5.
Para desenhar: marque o ponto (0,-3) e a inclinação 2 ou use os pontos (1,-1) e (1{,}5,0) e trace a reta.
Passo 10
Comportamento quando t\to\infty:
Como y(t)=2t-3, quando t\to\infty temos y(t)\to+\infty. Cresce linearmente (proporcional a t).
Resposta
y(t)=2t-3.
Gráfico: reta y=2t-3, passa por (1,-1), intercepto em y(0)=-3 e cruza o eixo t em t=\tfrac{3}{2}.
Comportamento quando t\to\infty: y(t)\to+\infty (cresce linearmente).