Questão 17. Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
- especificar o domínio de
;
- encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem;
- achar os intervalos em que
é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos;
- encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem;
- estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
incluindo domínio, assíntotas, monotonicidade, extremos locais e concavidade. Vamos usar propriedades de logaritmo para o domínio, limites para assíntotas, derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Determinar o domínio exige
, logo
Portanto
Como
quando
ou
, há assíntotas verticais em
Para
,
de modo que não há assíntotas horizontais nem oblíquas lineares de forma
com
finito.
Passo 3
Calculamos a derivada:
Zeramos o numerador
, cujas raízes são
Dessas, apenas
pertence a
.
Para analisar o sinal de em cada ramo do domínio:
Para analisar o sinal de
- Em
: numerador , denominador . - Em
: numerador , denominador . - Em
: numerador , denominador .
Logo
cresce em
, decresce em
e cresce em
.
Passo 4
Como
muda de positivo para negativo em
, ali há um máximo local. Seu valor é
Passo 5
Para a concavidade, calculamos
Como
sempre e
no domínio, segue
em todo domínio. Logo
é côncava para baixo sempre e não há pontos de inflexão.
Resposta
Domínio:
Assíntotas verticais: e
.
Nenhuma assíntota horizontal ou oblíqua linear de coeficiente finito.
Monotonicidade: cresce em , decresce em
, cresce em
.
Extremo local: máximo em , com valor
.
Concavidade: sempre côncava para baixo, sem pontos de inflexão.
Assíntotas verticais:
Nenhuma assíntota horizontal ou oblíqua linear de coeficiente finito.
Monotonicidade: cresce em
Extremo local: máximo em
Concavidade: sempre côncava para baixo, sem pontos de inflexão.