Questão 17. Seja f(x)=x+5+ln (x^2-4). Esboce o gráfico de f(x) depois de
  1. especificar o domínio de f;
  2. encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem;
  3. achar os intervalos em que f(x) é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos;
  4. encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem;
  5. estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função
f(x)=x+5+lnl(x^2-4r)
incluindo domínio, assíntotas, monotonicidade, extremos locais e concavidade. Vamos usar propriedades de logaritmo para o domínio, limites para assíntotas, derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Determinar o domínio exige x^2-4>0, logo
x^2>4Longrightarrow x< -2;ou;x>2
Portanto
Domínio=l(-infty,-2r)cupl(2,inftyr) í
Como lnl(x^2-4r)to -infty quando xto2^+ ou xto-2^-, há assíntotas verticais em
x=2, x=-2
Para xtopminfty,
f(x)=x+5+2ln|x|+ln!l(1-4/x^2r)sim x+2ln|x|+5topminfty,
de modo que não há assíntotas horizontais nem oblíquas lineares de forma y=mx+b com b finito.

Passo 3

Calculamos a derivada:
f'(x)=1+2xx^2-4 =x^2-4+2xx^2-4 =x^2+2x-4x^2-4
Zeramos o numerador x^2+2x-4=0, cujas raízes são
x=-1pmraiz5
Dessas, apenas x0=-1-raiz5approx-3,236 pertence a (-infty,-2).
Para analisar o sinal de f'(x) em cada ramo do domínio:
  • Em l(-infty,-3,236r): numerador >0, denominador >0 Rightarrow f'>0.
  • Em l(-3,236,-2r): numerador <0, denominador >0 Rightarrow f'<0.
  • Em l(2,inftyr): numerador >0, denominador >0 Rightarrow f'>0.
Logo f cresce em (-infty,-3,236), decresce em (-3,236,-2) e cresce em (2,infty).

Passo 4

Como f' muda de positivo para negativo em x0=-1-raiz5, ali há um máximo local. Seu valor é
f(x0)= l(-1-raiz5r)+5+lnl((-1-raiz5)^2-4r) =4-raiz5+lnl(2(1+raiz5)r)

Passo 5

Para a concavidade, calculamos
f''(x) =ddx!l(x^2+2x-4x^2-4r) =-2l(x^2+4r)(x^2-4)^2
Como x^2+4>0 sempre e (x^2-4)^2>0 no domínio, segue f''(x)<0 em todo domínio. Logo f é côncava para baixo sempre e não há pontos de inflexão.

Resposta

Domínio: ;(-infty,-2)cup(2,infty)
Assíntotas verticais: x=-2 e x=2.
Nenhuma assíntota horizontal ou oblíqua linear de coeficiente finito.
Monotonicidade: cresce em (-infty,-1-raiz5), decresce em (-1-raiz5,-2), cresce em (2,infty).
Extremo local: máximo em x=-1-raiz5, com valor 4-raiz5+lnl(2(1+raiz5)r).
Concavidade: sempre côncava para baixo, sem pontos de inflexão.

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