Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+y=f(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\), onde \(f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<\pi / 2 \\\\ 0, & t \geq \pi / 2\end{cases}

Passo 1

O problema é um IVP para a EDO linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y = f(t),
com condições iniciais y(0)=0\) e \(y'(0)=1\), onde \[f(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t < \tfrac\pi2,\\\\ 0, & t \ge \tfrac\pi2. \end{cases}
O conteúdo envolve a solução geral de y''+y=0\] (solução homogênea), método dos coeficientes indeterminados para a parte particular (quando \(f(t)=1), e em seguida impor continuidade de y e y' em t=\pi/2.

Passo 2

Para 0 \le t < \tfrac\pi2, temos f(t)=1.
  1. A solução homogênea é
y_h(t)=A\cos t + B\sin t.
  1. Buscamos uma particular constante y_p=C. Substituindo em y''+y=1 0 + C = 1, logo C=1.
  2. A solução geral neste intervalo é
y_1(t)=A\cos t + B\sin t + 1.
  1. Impondo as condições iniciais em t=0:
  • y_1(0)=A\cdot1 + B\cdot0 +1 = 0 A=-1.
  • y_1'(t) = -A\sin t + B\cos t, então y_1'(0)=B = 1 B=1.
    Logo
y_1(t) = -\cos t + \sin t + 1,\quad 0\le t<\tfrac\pi2.

Passo 3

Para t \ge \tfrac\pi2, vale f(t)=0, e a equação vira homogênea
y'' + y = 0.
A solução geral é
y_2(t)=C\cos t + D\sin t.
Precisamos determinar C,D impondo continuidade de y e y' em t=\pi/2.
  1. Em t=\pi/2, da parte anterior:
y_1\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=-\cos(\tfrac\pi2)+\sin(\tfrac\pi2)+1 = 0+1+1=2,
y_1'\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\sin(\tfrac\pi2)+\cos(\tfrac\pi2)=1+0=1.
  1. Impondo y_2(\tfrac\pi2)=2 e y_2'(\tfrac\pi2)=1:
  • y_2(\tfrac\pi2)=C\cdot0 + D\cdot1 = D = 2.
  • y_2'(t)=-C\sin t + D\cos t, então
y_2'\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=-C\cdot1 + D\cdot0 = -C = 1
\Rightarrow C=-1.
Logo
y_2(t) = -\cos t + 2\sin t,\quad t\ge \tfrac\pi2.

Resposta

Para todo t\ge0, a solução é
y(t)= \begin{cases} -\cos t + \sin t + 1, & 0 \le t < \tfrac\pi2,\\[6pt] -\cos t + 2\sin t, & t \ge \tfrac\pi2. \end{cases}]

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