Encontre a transformada inversa de Laplace das funções.
F(s)=\frac{\left(1+e^{-2 s}\right)^{2}}{s+2}

Passo 1

Resumindo: o enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{\bigl(1+e^{-2s}\bigr)^{2}}{s+2}.
O conteúdo usado será a linearidade da transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento), que diz que
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{e^{-a s}G(s)\bigr\}(t) = u(t-a)\,g(t-a),
onde g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t) e u(\cdot) é a função degrau unitário.

Passo 2

Vamos expandir o quadrado no numerador:
(1+e^{-2s})^{2} =1 + 2\,e^{-2s} + e^{-4s}.

Passo 3

Escrevemos F(s) como soma de três termos:
F(s) =\frac{1}{s+2} +2\,\frac{e^{-2s}}{s+2} +\frac{e^{-4s}}{s+2}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo.
  1. Para \displaystyle \frac{1}{s+2}, sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+2}\Bigr\}(t) =e^{-2t}.
  1. Para \displaystyle 2\,\frac{e^{-2s}}{s+2}, usamos o teorema do deslocamento com a=2 e G(s)=1/(s+2), cujo inverso é e^{-2t}. Logo,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{2\,\frac{e^{-2s}}{s+2}\Bigr\}(t) =2\,u(t-2)\,e^{-2\,(t-2)}.
  1. Para \displaystyle \frac{e^{-4s}}{s+2}, aplicamos o mesmo teorema com a=4:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-4s}}{s+2}\Bigr\}(t) =u(t-4)\,e^{-2\,(t-4)}.

Passo 5

Somando os três resultados, obtemos a transformada inversa desejada.

Resposta

f(t) =e^{-2t} +2\,u(t-2)\,e^{-2\,(t-2)} +u(t-4)\,e^{-2\,(t-4)}.

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