Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=\left(1-e^{t}+3 e^{-4 t}\right) \cos 5 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\bigl(1 - e^{t} + 3e^{-4t}\bigr)\cos 5t.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e o “s‐shift” para fatores exponenciais. Vamos usar que
L\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt
é linear e que
L\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s - a),
onde G(s)=L\{g(t)\}(s).

Passo 2

Pela linearidade,
L\{f(t)\}(s) = L\{\cos5t\}(s) - L\{e^{t}\cos5t\}(s) + 3\,L\{e^{-4t}\cos5t\}(s).

Passo 3

Recordando a fórmula padrão
L\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^2 + a^2},
para a=5 obtemos
L\{\cos5t\}(s)=\frac{s}{s^2+25}.

Passo 4

Pela propriedade de deslocamento no eixo s,
L\{e^{t}\cos5t\}(s) = L\{\cos5t\}(s - 1) = \frac{s-1}{(s-1)^2 + 25}.

Passo 5

De modo análogo,
L\{e^{-4t}\cos5t\}(s) = L\{\cos5t\}(s + 4) = \frac{s+4}{(s+4)^2 + 25}.

Passo 6

Substituindo os resultados em Passo 2,
L\{f(t)\}(s) = \frac{s}{s^2+25} - \frac{s-1}{(s-1)^2+25} + 3\;\frac{s+4}{(s+4)^2+25}.

Resposta

F(s)=\frac{s}{s^2+25} - \frac{s-1}{(s-1)^2+25} + \frac{3\,(s+4)}{(s+4)^2+25}.

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