Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} t, \quad y(\pi / 2)=1, \quad t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO linear de 1ª ordem não homogênea
y' + 2y = \sin t,
com condição inicial y(\pi/2)=1. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) por
\mu(t) = e^{\int 2\,dt} = e^{2t}.
Multiplicando a EDO por \mu(t), obtemos
e^{2t}y' + 2e^{2t}y = e^{2t}\sin t \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y\bigr) = e^{2t}\sin t.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{2t}y = \int e^{2t}\sin t\,dt + C.
Para calcular \displaystyle\int e^{2t}\sin t\,dt, usamos a fórmula
\int e^{at}\sin(bt)\,dt = \frac{e^{at}}{a^2+b^2}\bigl(a\sin(bt)-b\cos(bt)\bigr),
com a=2 e b=1. Assim,
\int e^{2t}\sin t\,dt = \frac{e^{2t}}{5}\bigl(2\sin t - \cos t\bigr).
Logo
e^{2t}y = \frac{e^{2t}}{5}\bigl(2\sin t - \cos t\bigr) + C,
e portanto
y(t) = \frac{2\sin t - \cos t}{5} + C\,e^{-2t}.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(\pi/2)=1:
1 = y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = \frac{2\sin(\pi/2)-\cos(\pi/2)}{5} + C\,e^{-2\cdot(\pi/2)} = \frac{2\cdot1-0}{5} + C\,e^{-\pi} = \frac{2}{5} + C\,e^{-\pi}.
Desse modo
C\,e^{-\pi} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}, \quad C = \frac{3}{5}\,e^{\pi}.

Passo 5

Substituindo C na solução geral, obtemos
y(t) = \frac{2\sin t - \cos t}{5} + \frac{3}{5}\,e^{\pi}\,e^{-2t} = \frac{2\sin t - \cos t}{5} + \frac{3}{5}\,e^{\pi - 2t}.

Resposta

y(t) = \frac{2\sin t - \cos t}{5} + \frac{3}{5}\,e^{\pi - 2t}.

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