encontre a solução do problema de valor inicial dado.
t y^{\prime}+(t+1) y=1 . \quad y(\ln 2)=1 . \quad t>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial e pede a solução no intervalo t>0. Dados e pedido:
  • Equação diferencial: t\,y'(t)+(t+1)\,y(t)=1.
  • Condição inicial: y(\ln 2)=1.
  • Domínio: t>0.
    O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial para t>0.

Passo 2

Primeiro reorganizo a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem, dividindo por t (isso é permitido porque t>0, ou seja, t\neq0):
y'(t)+\left(1+\dfrac{1}{t}\right)y(t)=\dfrac{1}{t}.
Aqui a equação tem a forma
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t),
onde p(t)=1+\dfrac{1}{t} e q(t)=\dfrac{1}{t}. Vou usar o método do fator integrante: escolhemos um fator \mu(t) tal que multiplicando a equação por \mu(t) a parte esquerda se torne a derivada de \mu(t)y(t). O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).

Passo 3

Calculo o fator integrante \mu(t). Como p(t)=1+\dfrac{1}{t},
\int p(t)\,dt=\int\left(1+\dfrac{1}{t}\right)dt=t+\ln t.
Portanto
\mu(t)=\exp\!\left(t+\ln t\right)=e^t\cdot e^{\ln t}=t\,e^t,
usando e^{\ln t}=t (válido pois t>0). Verificação rápida (intuição): (\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu\big(y'+p y\big), então multiplicar pela \mu transforma o lado esquerdo numa derivada exata.

Passo 4

Multiplico a equação reorganizada por \mu(t)=t e^t. A equação fica
t e^t\,y'(t)+t e^t\left(1+\dfrac{1}{t}\right)y(t)=t e^t\cdot\dfrac{1}{t}.
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo e o lado direito:
t e^t\,y'(t)+e^t(t+1)\,y(t)=e^t.
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de \mu(t)y(t):
\big(t e^t\,y(t)\big)'=e^t.
Agora integro ambos os lados em relação a t:
\int \big(t e^t\,y(t)\big)'\,dt=\int e^t\,dt \quad\Rightarrow\quad t e^t\,y(t)=e^t+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolo y(t):
y(t)=\dfrac{e^t+C}{t e^t}=\dfrac{1+Ce^{-t}}{t}.
Agora aplico a condição inicial y(\ln 2)=1. Substituindo t=\ln 2:
1=y(\ln 2)=\dfrac{1+C e^{-\ln 2}}{\ln 2}.
Calculo e^{-\ln 2}=1/e^{\ln 2}=1/2, então
1=\dfrac{1+\dfrac{C}{2}}{\ln 2}.
Multiplicando ambos os lados por \ln 2:
1+\dfrac{C}{2}=\ln 2.
Logo
\dfrac{C}{2}=\ln 2-1\quad\Rightarrow\quad C=2(\ln 2-1).

Passo 6

Substituindo C na expressão geral obtemos a solução desejada:
y(t)=\dfrac{1+2(\ln 2-1)\,e^{-t}}{t},\qquad t>0.
Essa é a solução única do problema de valor inicial no domínio indicado.

Resposta

\displaystyle y(t)=\dfrac{1+2(\ln 2-1)\,e^{-t}}{t}

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