encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial e pede a solução no intervalo
. Dados e pedido:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Domínio:
.
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e a condição inicial para .
Passo 2
Primeiro reorganizo a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem, dividindo por
(isso é permitido porque
, ou seja,
):
Aqui a equação tem a forma
onde
e
. Vou usar o método do fator integrante: escolhemos um fator
tal que multiplicando a equação por
a parte esquerda se torne a derivada de
. O fator integrante é dado por
Passo 3
Calculo o fator integrante
. Como
,
Portanto
usando
(válido pois
). Verificação rápida (intuição):
, então multiplicar pela
transforma o lado esquerdo numa derivada exata.
Passo 4
Multiplico a equação reorganizada por
. A equação fica
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo e o lado direito:
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
:
Agora integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolo
:
Agora aplico a condição inicial
. Substituindo
:
Calculo
, então
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo
Passo 6
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução desejada:
Essa é a solução única do problema de valor inicial no domínio indicado.