encontre a solução do problema de valor inicial dado.
t y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} t . \quad y(\pi / 2)=1, \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação: t\,y'(t)+2y(t)=\operatorname{sen} t, definida para t>0.
  • Condição inicial: y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
O que é pedido: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação diferencial para t>0 e a condição inicial dada.
As informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é t (com t>0).
  • A derivada é y'(t)=\dfrac{dy}{dt}.
  • O lado direito da equação envolve \operatorname{sen} t.
  • A condição inicial está em t=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a equação no “forma padrão” de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por t (válido porque t>0), obtemos
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=\frac{\operatorname{sen} t}{t}.
Explicação do que significa cada termo:
  • y'(t) é a derivada de y em relação a t.
  • \dfrac{2}{t} é a função coeficiente que multiplica y.
  • \dfrac{\operatorname{sen} t}{t} é a função do termo não-homogêneo (termo fonte) que depende só de t.

Passo 3

Para resolver equações lineares de primeira ordem da forma
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t)
usa-se o fator integrante \mu(t)=\exp\!\left(\displaystyle\int p(t)\,dt\right). Aqui p(t)=\dfrac{2}{t}. Calculando:
\int p(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt=2\ln t,
portanto
\mu(t)=\exp\!\big(2\ln t\big)=t^{2},
onde foi usado que t>0 para poder escrever \ln t.
Comentário didático: o fator integrante é um multiplicador que transforma o lado esquerdo da equação numa derivada perfeita (\mu y)'. Isso facilita porque podemos integrar diretamente.

Passo 4

Multiplicando toda a equação padrão por \mu(t)=t^{2}, obtemos
t^{2}y'(t)+t^{2}\cdot\frac{2}{t}\,y(t)=t^{2}\cdot\frac{\operatorname{sen} t}{t}.
Simplificando os termos,
t^{2}y'(t)+2t\,y(t)=t\operatorname{sen} t.
Reconhece-se o lado esquerdo como a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big). De fato,
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=t^{2}y'(t)+2t\,y(t).
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=t\operatorname{sen} t.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^{2}y(t)=\int t\operatorname{sen} t\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral \displaystyle\int t\operatorname{sen} t\,dt.

Passo 6

Calcular \displaystyle\int t\operatorname{sen} t\,dt por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
escolhendo u=t e dv=\operatorname{sen} t\,dt. Então
  • u=t implica du=dt;
  • dv=\operatorname{sen} t\,dt implica v=-\cos t.
Aplicando a fórmula:
\int t\operatorname{sen} t\,dt = u v - \int v\,du = -t\cos t - \int (-\cos t)\,dt.
Isso dá
\int t\operatorname{sen} t\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt = -t\cos t + \operatorname{sen} t + C_1,
onde C_1 é constante de integração (que será absorvida pela constante global C usada acima). Assim podemos escrever, sem perda de generalidade,
t^{2}y(t)=-t\cos t+\operatorname{sen} t + C.

Passo 7

Isolando y(t) obtemos
y(t)=\frac{-t\cos t+\operatorname{sen} t + C}{t^{2}}.
Agora aplicamos a condição inicial y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 para determinar C. Substituindo t=\dfrac{\pi}{2}:
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0,
  • \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1,
  • t^{2}=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2}=\dfrac{\pi^{2}}{4}.
Logo
1 = y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\frac{-\dfrac{\pi}{2}\cdot 0 + 1 + C}{\dfrac{\pi^{2}}{4}}=\frac{1+C}{\dfrac{\pi^{2}}{4}}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{\pi^{2}}{4}:
1+C=\frac{\pi^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{\pi^{2}}{4}-1.

Passo 8

Substituindo C na expressão geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(t)=\frac{-t\cos t+\operatorname{sen} t + \dfrac{\pi^{2}}{4}-1}{t^{2}}.
Podemos também escrever de forma separada:
y(t)=\frac{\operatorname{sen} t - t\cos t}{t^{2}}+\frac{\dfrac{\pi^{2}}{4}-1}{t^{2}}.
Lembrete: a solução está definida para t>0, que é o domínio indicado no enunciado.

Resposta

y(t)=\dfrac{-t\cos t+\operatorname{sen} t + \dfrac{\pi^{2}}{4}-1}{t^{2}}

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