encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação:
, definida para . - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial para
e a condição inicial dada.
As informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
(com ). - A derivada é
. - O lado direito da equação envolve
. - A condição inicial está em
.
Passo 2
Vamos primeiro escrever a equação no “forma padrão” de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(válido porque
), obtemos
Explicação do que significa cada termo:
-
é a derivada de em relação a . -
é a função coeficiente que multiplica . -
é a função do termo não-homogêneo (termo fonte) que depende só de .
Passo 3
Para resolver equações lineares de primeira ordem da forma
usa-se o fator integrante
. Aqui
. Calculando:
portanto
onde foi usado que
para poder escrever
.
Comentário didático: o fator integrante é um multiplicador que transforma o lado esquerdo da equação numa derivada perfeita
. Isso facilita porque podemos integrar diretamente.
Passo 4
Multiplicando toda a equação padrão por
, obtemos
Simplificando os termos,
Reconhece-se o lado esquerdo como a derivada do produto
. De fato,
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
.
Passo 6
Calcular
por partes. A fórmula de integração por partes é
escolhendo
e
. Então
-
implica ; -
implica .
Aplicando a fórmula:
Isso dá
onde
é constante de integração (que será absorvida pela constante global
usada acima). Assim podemos escrever, sem perda de generalidade,
Passo 7
Isolando
obtemos
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
-
, -
, -
.
Logo
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Substituindo
na expressão geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Podemos também escrever de forma separada:
Lembrete: a solução está definida para
, que é o domínio indicado no enunciado.