Encontre a solução para o problema de valor inicial dado. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
x^2 y^prime-y+x y=0, y(-1)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial com condição inicial:
x^2 y' - y + x y = 0, y(-1) = -1
Aqui, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente, a técnica de fator integrante para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão. Vamos colocar tudo em termos de x^2 y' = y - x y y' = y(1 - x)x^2 :
Agora, temos a equação na forma , onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial linear, precisamos encontrar um fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx . A fórmula para integral P(x) dx = integral -1 - xx^2 dx = -integral (1x^2 - 1x) dx = -(-1x - ln|x|) = 1x + ln|x| é:
Vamos calcular a integral de :

Passo 4

Agora, calculamos o fator integrante:
mu(x) = e^1x + ln|x| = e^1x cdot e^ln|x| = x cdot e^1x

Passo 5

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
x cdot e^1x cdot y' + x cdot e^1x cdot P(x) y = 0 Rightarrow ddx ( y cdot x cdot e^1x ) = 0
Isso simplifica a equação para encontrar uma solução direta.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
y cdot x cdot e^1x = C
Onde y = Cx cdot e^1x = Cx cdot e^-1x é a constante de integração. Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial -1 = C-1 cdot e^-1-1 -1 = -C cdot e^1 C = -1-e = 1e para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 1e x cdot e^-1x = 1x cdot e^-1/x - 1

Exercícios relacionados