Encontre a solução para o problema de valor inicial dado. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial com condição inicial:
Aqui, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente, a técnica de fator integrante para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão. Vamos colocar tudo em termos de
:
Agora, temos a equação na forma
, onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial linear, precisamos encontrar um fator integrante
. A fórmula para
é:
Vamos calcular a integral de
:
Passo 4
Agora, calculamos o fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para encontrar uma solução direta.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: