Encontre uma primitiva de: f(x)=x^2raiz9-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma primitiva da função $ f(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} $. Isso envolve o cálculo da integral dessa função. Para resolver, vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a integração. Note que $ x^{2} = 9 - (9 - x^{2}) $. Assim, podemos decompor a expressão original:
x^2 = 9 - (9 - x^2)
Simplificando, temos:
x^2raiz9 - x^2 = 9 - (9 - x^2)raiz9 - x^2 = 9raiz9 - x^2 - 9 - x^2raiz9 - x^2

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 9raiz9 - x^2 , dx - integral raiz9 - x^2 , dx
Para o primeiro termo, a integral de $ \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} $ em relação a $ x $ é $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) $. Aqui, $ a = 3 $.
Então,
1raiza^2 - x^2

Passo 4

Para o segundo termo, precisamos integrar $ \sqrt{9 - x^{2}} $. Vamos usar a substituição trigonométrica. Seja $ x = 3 \sin\theta $, então $ dx = 3 \cos\theta , d\theta $. Substituindo,
raiz9 - x^2
Sabemos que $ \cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $, então:
x = 3 sintheta
Voltando à variável original $ x $:
dx = 3 costheta , dtheta
Portanto,
integral raiz9 - x^2 , dx = integral raiz9 - 9sin^2theta cdot 3costheta , dtheta = integral 3costheta cdot 3costheta , dtheta = 9 integral cos^2theta , dtheta

Passo 5

Agora, juntando os dois integrais:
9 arcsin(x3) - ( 92 arcsin(x3) + xraiz9 - x^22 ) = 92 arcsin(x3) - xraiz9 - x^22 + C

Resposta

92 arcsin(x3) - x raiz9 - x^22 + C

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