Encontre uma primitiva de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma primitiva da função $ f(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} $. Isso envolve o cálculo da integral dessa função. Para resolver, vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a integração. Note que $ x^{2} = 9 - (9 - x^{2}) $. Assim, podemos decompor a expressão original:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para o primeiro termo, a integral de $ \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} $ em relação a $ x $ é $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) $. Aqui, $ a = 3 $.
Então,
Passo 4
Para o segundo termo, precisamos integrar $ \sqrt{9 - x^{2}} $. Vamos usar a substituição trigonométrica. Seja $ x = 3 \sin\theta $, então $ dx = 3 \cos\theta , d\theta $. Substituindo,
Sabemos que $ \cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $, então:
Voltando à variável original $ x $:
Portanto,
Passo 5
Agora, juntando os dois integrais: