Desenhe o campo de direções para a equação diferencial y^prime=-y+4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o campo de direções para a equação diferencial . Isso entra no conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente nos campos de direções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo de direções, como calcular as inclinações das retas em diferentes pontos e como representar isso graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Um campo de direções é um conjunto de retas pequenas desenhadas em pontos específicos do plano, onde cada reta tem uma inclinação determinada pela equação diferencial. Essas retas ajudam a visualizar o comportamento das soluções da equação sem precisar resolvê-la de forma exata.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação diferencial dada: . Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, a inclinação da reta tangente à solução da EDO naquele ponto.
Para desenhar o campo de direções, precisamos calcular para vários valores de . Vamos escolher alguns valores de e calcular suas respectivas inclinações.

Passo 4

Vamos fazer uma tabela com alguns valores de |c|c| hline y & y' = -y + 4 hline 0 & -0 + 4 = 4 1 & -1 + 4 = 3 2 & -2 + 4 = 2 3 & -3 + 4 = 1 4 & -4 + 4 = 0 5 & -5 + 4 = -1 hline e calcular :
Esses cálculos mostram como a inclinação varia com . Por exemplo, quando , a inclinação é 4; quando , a inclinação é 0; e quando , a inclinação é -1.

Passo 5

Agora que temos as inclinações para diferentes valores de , vamos desenhar o campo de direções. Para cada valor de , colocamos um ponto correspondente no plano e desenhamos uma pequena reta com a inclinação calculada.
  • Para , desenhamos uma reta com inclinação 4 (bem inclinada para cima).
  • Para , uma reta com inclinação 3.
  • Para , inclinação 2.
  • Para , inclinação 1.
  • Para , uma reta horizontal (inclinação 0).
  • Para , uma reta inclinada para baixo com inclinação -1.
Esse padrão mostra que, à medida que aumenta, a inclinação das retas diminui, chegando a zero em , que é um ponto de equilíbrio.

Passo 6

Vamos identificar o ponto de equilíbrio da equação diferencial. O ponto de equilíbrio ocorre quando 0 = -y + 4 implies y = 4 :
Isso significa que quando , a solução da EDO não está mudando, ou seja, é uma solução constante.

Resposta

O campo de direções para a equação diferencial consiste em retas desenhadas em pontos onde a inclinação varia conforme mostrado na tabela. As retas são inclinadas para cima quando , horizontais em (ponto de equilíbrio) e inclinadas para baixo quando . Esse campo de direções visualiza como as soluções da EDO se comportam, aproximando-se do ponto de equilíbrio .

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