Desenhe o campo de direções para a equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o campo de direções para a equação diferencial
. Isso entra no conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente nos campos de direções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo de direções, como calcular as inclinações das retas em diferentes pontos e como representar isso graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Um campo de direções é um conjunto de retas pequenas desenhadas em pontos específicos do plano, onde cada reta tem uma inclinação determinada pela equação diferencial. Essas retas ajudam a visualizar o comportamento das soluções da equação sem precisar resolvê-la de forma exata.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação diferencial dada:
. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja, a inclinação da reta tangente à solução da EDO naquele ponto.
Para desenhar o campo de direções, precisamos calcular
para vários valores de
. Vamos escolher alguns valores de
e calcular suas respectivas inclinações.
Passo 4
Vamos fazer uma tabela com alguns valores de
e calcular
:
Esses cálculos mostram como a inclinação
varia com
. Por exemplo, quando
, a inclinação é 4; quando
, a inclinação é 0; e quando
, a inclinação é -1.
Passo 5
Agora que temos as inclinações para diferentes valores de
, vamos desenhar o campo de direções. Para cada valor de
, colocamos um ponto correspondente no plano e desenhamos uma pequena reta com a inclinação calculada.
- Para
, desenhamos uma reta com inclinação 4 (bem inclinada para cima). - Para
, uma reta com inclinação 3. - Para
, inclinação 2. - Para
, inclinação 1. - Para
, uma reta horizontal (inclinação 0). - Para
, uma reta inclinada para baixo com inclinação -1.
Esse padrão mostra que, à medida que
aumenta, a inclinação das retas diminui, chegando a zero em
, que é um ponto de equilíbrio.
Passo 6
Vamos identificar o ponto de equilíbrio da equação diferencial. O ponto de equilíbrio ocorre quando
:
Isso significa que quando
, a solução da EDO não está mudando, ou seja,
é uma solução constante.
Resposta
O campo de direções para a equação diferencial
consiste em retas desenhadas em pontos onde a inclinação varia conforme mostrado na tabela. As retas são inclinadas para cima quando
, horizontais em
(ponto de equilíbrio) e inclinadas para baixo quando
. Esse campo de direções visualiza como as soluções da EDO se comportam, aproximando-se do ponto de equilíbrio
.