Encontre a solução para o problema de valor inicial dado. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
y^prime+12 y=2 cos t, y(0)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de primeira ordem com condição inicial. O enunciado nos dá a equação $ y’ + \frac{1}{2} y = 2 \cos t $ e diz que $ y(0) = -1 $. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações lineares desse tipo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial padrão, que tem a forma $ y’ + P(t)y = Q(t) $. Aqui, $ P(t) = \frac{1}{2} $ e $ Q(t) = 2 \cos t $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação.

Passo 3

O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^12 t y' + e^12 t cdot 12 y = 2 e^12 t cos t
Isso simplifica a equação para a forma:
ddt ( e^12 t y ) = 2 e^12 t cos t
A esquerda é a derivada do produto do fator integrante por $ y $.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
Do lado esquerdo, a integral da derivada simplesmente retorna $ e^{\frac{1}{2} t} y $.

Passo 6

Vamos calcular a integral do lado direito. Para isso, usamos integração por partes ou reconhecemos que precisamos resolver uma integral que envolve exponenciais e funções trigonométricas. A integral de $ e^{at} \cos(bt) $ é conhecida e dada por:
e^at cos(bt)
No nosso caso, $ a = \frac{1}{2} $ e $ b = 1 $, então:
integral e^at cos(bt) , dt = e^ata^2 + b^2 (a cos(bt) + b sin(bt)) + C
Simplificando:
a = 12
b = 1

Passo 7

Agora, juntando tudo:
e^12 t y = 85 e^12 t ( 12 cos t + sin t ) + C
Dividimos ambos os lados por $ e^{\frac{1}{2} t} $ para isolar $ y $:
e^12 t
Simplificando:
y

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = -1 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(0) = -1
Sabendo que $ \cos 0 = 1 $ e $ \sin 0 = 0 $:
C

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = 45 cos t + 85 sin t - 95 e^-12 t
Essa função satisfaz a equação original e a condição inicial $ y(0) = -1 $.

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