Encontre a solução para o problema de valor inicial dado. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de primeira ordem com condição inicial. O enunciado nos dá a equação $ y’ + \frac{1}{2} y = 2 \cos t $ e diz que $ y(0) = -1 $. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações lineares desse tipo. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial padrão, que tem a forma $ y’ + P(t)y = Q(t) $. Aqui, $ P(t) = \frac{1}{2} $ e $ Q(t) = 2 \cos t $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação.
Passo 3
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para a forma:
A esquerda é a derivada do produto do fator integrante por $ y $.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Do lado esquerdo, a integral da derivada simplesmente retorna $ e^{\frac{1}{2} t} y $.
Passo 6
Vamos calcular a integral do lado direito. Para isso, usamos integração por partes ou reconhecemos que precisamos resolver uma integral que envolve exponenciais e funções trigonométricas. A integral de $ e^{at} \cos(bt) $ é conhecida e dada por:
No nosso caso, $ a = \frac{1}{2} $ e $ b = 1 $, então:
Simplificando:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Dividimos ambos os lados por $ e^{\frac{1}{2} t} $ para isolar $ y $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = -1 $ para encontrar o valor de $ C $:
Sabendo que $ \cos 0 = 1 $ e $ \sin 0 = 0 $:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
Essa função satisfaz a equação original e a condição inicial $ y(0) = -1 $.