Mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa mostrar que é homogênea e depois resolver. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais de primeira ordem e especificamente a técnica de equações homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como usar substituições para simplificar e resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a equação dada é homogênea. Uma equação diferencial é chamada de homogênea se ela puder ser escrita como uma função de $ \frac{y}{x} $. Olhando para a nossa equação:
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador são combinações lineares de $ x $ e $ y $. Para verificar a homogeneidade, fazemos a substituição $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y = v x $ na equação original. Primeiro, calculamos $ dy/dx $ usando a regra do produto:
Substituindo $ y = v x $ na equação:
Passo 4
Agora, reorganizamos a equação para isolar $ \frac{dv}{dx} $:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, temos uma equação separável em termos de $ v $ e $ x $. Vamos separar as variáveis:
Vamos fatorar o denominador do lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos simplificar o lado esquerdo usando frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por $ (v - 1)(v - 4) $:
Para encontrar $ A $ e $ B $, escolhemos valores de $ v $ que simplificam a equação:
- Se $ v = 1 $:
- Se $ v = 4 $:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando ambos os lados por $ -3 $:
Onde $ C’ = -3C $.
Usando propriedades dos logaritmos:
Onde $ K = e^{C’} $.
Passo 9
Removendo os logaritmos:
Para simplificar, podemos absorver as constantes positivas em $ K $, então:
Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $:
Multiplicando ambos os lados por $ x^3 $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.