Mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
d yd x=4 x-3 y2 x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa mostrar que é homogênea e depois resolver. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais de primeira ordem e especificamente a técnica de equações homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como usar substituições para simplificar e resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a equação dada é homogênea. Uma equação diferencial é chamada de homogênea se ela puder ser escrita como uma função de $ \frac{y}{x} $. Olhando para a nossa equação:
yx
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador são combinações lineares de $ x $ e $ y $. Para verificar a homogeneidade, fazemos a substituição $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y = v x $ na equação original. Primeiro, calculamos $ dy/dx $ usando a regra do produto:
y = v x
Substituindo $ y = v x $ na equação:
dy/dx

Passo 4

Agora, reorganizamos a equação para isolar $ \frac{dv}{dx} $:
dvdx
Vamos simplificar o lado direito:
x dvdx = 4 - 3v2 - v - v
Então, a equação fica:
4 - 3v2 - v - v = 4 - 3v - v(2 - v)2 - v = 4 - 3v - 2v + v^22 - v = v^2 - 5v + 42 - v

Passo 5

Agora, temos uma equação separável em termos de $ v $ e $ x $. Vamos separar as variáveis:
v
Vamos fatorar o denominador do lado esquerdo:
x
Então, a equação fica:
2 - vv^2 - 5v + 4 dv = 1x dx

Passo 6

Vamos simplificar o lado esquerdo usando frações parciais. Queremos escrever:
2 - v(v - 1)(v - 4) = Av - 1 + Bv - 4
Multiplicando ambos os lados por $ (v - 1)(v - 4) $:
(v - 1)(v - 4)
Para encontrar $ A $ e $ B $, escolhemos valores de $ v $ que simplificam a equação:
  • Se $ v = 1 $:
2 - v = A(v - 4) + B(v - 1)
  • Se $ v = 4 $:
A
Então, a expressão fica:
B

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados:
-13 integral 1v - 1 dv - 23 integral 1v - 4 dv = integral 1x dx
Integrando:
-13 ln |v - 1| - 23 ln |v - 4| = ln |x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
-13 ln |v - 1| - 23 ln |v - 4| = ln |x| + C
Multiplicando ambos os lados por $ -3 $:
-3
Onde $ C’ = -3C $.
Usando propriedades dos logaritmos:
ln |v - 1| + 2 ln |v - 4| = -3 ln |x| + C'
C' = -3C
Onde $ K = e^{C’} $.

Passo 9

Removendo os logaritmos:
|v - 1| |v - 4|^2 = Kx^3
Para simplificar, podemos absorver as constantes positivas em $ K $, então:
K
Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $:
(v - 1)(v - 4)^2 = Cx^3
Multiplicando ambos os lados por $ x^3 $:
v = yx

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
(y - x)(y - 4x)^2 = C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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