Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
x^2 y^prime prime+3 x y^prime+y=0, com y(1)=4 e y^prime(1)=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
x^2y''+3x,y'+y=0
com condições iniciais y(1)=4 e y'(1)=-2. Vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y=x^m.

Passo 2

Supondo y=x^m, temos
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação,
x^2l[m(m-1)x^m-2r]+3xl[mx^m-1r]+x^m=0
e simplificando x^mneq0,

Passo 3

obtemos a equação característica
m(m-1)+3m+1=0 Longrightarrow m^2+2m+1=0 Longrightarrow (m+1)^2=0
Há raiz dupla m=-1.

Passo 4

Para raiz dupla a solução geral é
y(x)=C1,x^-1+C2,x^-1ln x

Passo 5

Impondo y(1)=4 obtemos
y(1)=C1cdot1^-1+C2cdot1^-1ln1 =C1+0=4 Longrightarrow C1=4

Passo 6

Calculamos y'(x). Como
ddxl(x^-1ln xr) =x^-2(1-ln x),
temos
y'(x)=-C1,x^-2+C2,x^-2(1-ln x) =x^-2l(-C1+C2(1-ln x)r)

Passo 7

Impondo y'(1)=-2:
y'(1)=1^-2l(-C1+C2(1-ln1)r) =-C1+C2=-4+C2=-2 Longrightarrow C2=2

Resposta

boxedy(x)=4+2ln xx

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