Obtenha uma solução geral da edo abaixo:
f) 2 x^2 y^prime prime+4 x y^prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
2x^2y''+4x,y'+5y=0
Esse tipo de EDO tem a forma
a,x^2y''+b,x,y'+c,y=0
e resolvemos usando o ansatz y=x^m, o que nos leva a uma equação algébrica para m.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y=x^m
Então
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2
Substituindo na EDO original, obtemos
2x^2l(m(m-1)x^m-2r)+4xl(m,x^m-1r)+5,x^m=0
e, ao fatorar x^m (para x>0), sobra uma equação em m.

Passo 3

Fatorando x^m na expressão do passo anterior, chega-se à equação característica
2m(m-1)+4m+5=0
que se simplifica para
2m^2+2m+5=0

Passo 4

Resolvendo a quadrática
2m^2+2m+5=0
calculamos o discriminante
De<a =2^2-4cdot2cdot5=4-40=-36<0
e obtemos as raízes complexas
m = -2pmraiz-362cdot2 = -2pm6,i4 = -tfrac12pmtfrac32,i

Passo 5

Quando as raízes são m=alphapm ibeta, a solução geral é
y(x)=x^alphal(C1cosl(betaln xr)+C2sinl(betaln xr)r)
Aqui alpha=-tfrac12 e beta=tfrac32.

Resposta

y(x)=x^-tfrac12l(C1cosl(tfrac32ln xr)+C2sinl(tfrac32ln xr)r),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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