Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime}-2 y=e^{3}, \quad y(0)=2

Passo 1

O problema dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 2y = e^{3}
com condição inicial y(0)=2.
O conteúdo é “equações lineares de 1ª ordem” e vamos resolver usando o fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato padrão
y' + p(x)\,y = q(x),
onde aqui p(x) = -2 e q(x)=e^{3}.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = e^{3}e^{-2x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{-2x}y, ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr) = e^{3}e^{-2x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-2x}y = \int e^{3}e^{-2x}\,dx = e^{3}\int e^{-2x}\,dx = e^{3}\bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\bigr) + C = -\tfrac{e^{3}}{2}e^{-2x} + C.
Multiplicando por e^{2x} para achar y:
y = -\tfrac{e^{3}}{2} + C\,e^{2x}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=2:
y(0) = -\tfrac{e^{3}}{2} + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 2 + \tfrac{e^{3}}{2}.
Logo a solução particular é
y(x) = -\tfrac{e^{3}}{2} + \Bigl(2 + \tfrac{e^{3}}{2}\Bigr)e^{2x}.

Resposta

y(x) = \Bigl(2 + \tfrac{e^{3}}{2}\Bigr)e^{2x} \;-\; \tfrac{e^{3}}{2}.

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