Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime}+(2 / \pi) y=(\cos \pi) / \pi^{3}, \quad y(\pi)=0, \quad t>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + \frac{2}{\pi}\,y(t) = \frac{\cos\pi}{\pi^3}, \qquad y(\pi)=0,
para t>0.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante, então vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{\pi}\,dt\Bigr) = \exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}\,t\bigr).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr)\,y'(t) + \frac{2}{\pi}\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr)\,y(t) = \frac{\cos\pi}{\pi^3}\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr).
O lado esquerdo é a derivada do produto \bigl(y(t)\,\exp(\tfrac{2}{\pi}t)\bigr)'. Logo,
\frac{d}{dt}\!\Bigl[y(t)\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr)\Bigr] = \frac{\cos\pi}{\pi^3}\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr).

Passo 4

Integramos em t:
y(t)\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr) = \int \frac{\cos\pi}{\pi^3}\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr)\,dt + C.
Como \cos\pi=-1,
\int \frac{-1}{\pi^3}\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr)\,dt = -\frac{1}{\pi^3}\cdot \frac{\pi}{2}\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr) = -\frac{1}{2\pi^2}\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr).
Assim
y(t)\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr) = -\frac{1}{2\pi^2}\,\exp\!\bigl(\tfrac{2}{\pi}t\bigr) + C,
e portanto
y(t) = -\frac{1}{2\pi^2} + C\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2}{\pi}t\bigr).

Passo 5

Usamos a condição y(\pi)=0:
0 = -\frac{1}{2\pi^2} + C\,\exp\!\bigl(-\tfrac{2}{\pi}\,\pi\bigr) = -\frac{1}{2\pi^2} + C\,e^{-2}.
Logo
C = \frac{1}{2\pi^2}\,e^{2}.
Substituindo em y(t), obtemos
y(t) = -\frac{1}{2\pi^2} + \frac{1}{2\pi^2}\,e^{2}\,e^{-\tfrac{2}{\pi}t} = \frac{1}{2\pi^2}\Bigl(e^{2 - \tfrac{2}{\pi}t}-1\Bigr).

Resposta

y(t) = \frac{1}{2\pi^2}\Bigl(e^{2 - \tfrac{2}{\pi}t}-1\Bigr).

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