Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+6 y^prime+5 y=0 y(0)=0 y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + 6y' + 5y = 0,
com as condições y(0)=0 e y'(0)=3. É uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para achar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos o polinômio característico
lambda^2 + 6lambda + 5 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes
lambda = -1 e lambda = -5

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-5x

Passo 4

Aplicando a condição y(0)=0, vem
y(0) = C1 + C2 = 0 Longrightarrow C2 = -C1

Passo 5

Calculamos y'(x) e impomos y'(0)=3:
y'(x) = -C1 e^-x ;-;5,C2 e^-5x
Em x=0 isso dá
y'(0) = -C1 - 5C2 = 3
Substituindo C2 = -C1, temos
-,C1 -5(-C1) = 4,C1 = 3 Longrightarrow C1 = tfrac34, C2 = -tfrac34

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(x) = tfrac34e^-x ;-;tfrac34e^-5x = tfrac34l(e^-x - e^-5xr)

Resposta

y(x) = tfrac34l(e^-x - e^-5xr)

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