Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0 y(pi2)=0 y^prime(pi2)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 5y = 0
e as condições iniciais ,y(tfracpi2)=0 e ,y'(tfracpi2)=2. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

A equação característica é
r^2 - 2r + 5 = 0
Suas raízes são r = 1 pm 2i, o que leva à solução geral
y(x) = e^xl(C cos(2x) + D sin(2x)r)

Passo 3

Calculamos a derivada de y(x). Usando a regra do produto e as derivadas de senos e cossenos, obtemos
y'(x) = e^xl(C cos(2x) + D sin(2x)r) + e^xl(-2C sin(2x) + 2D cos(2x)r) = e^xl((C + 2D)cos(2x) + (D - 2C)sin(2x)r)

Passo 4

Aplicando ,y(tfracpi2)=0:
yl(tfracpi2r) = e^pi/2l(C cos(pi) + D sin(pi)r) = -C,e^pi/2 = 0
logo C=0.

Passo 5

Aplicando ,y'(tfracpi2)=2:
y'l(tfracpi2r) = e^pi/2l((C + 2D)cos(pi) + (D - 2C)sin(pi)r) = - (C + 2D),e^pi/2 = 2
Substituindo C=0 -2D,e^pi/2=2 e portanto D = -e^-pi/2.

Passo 6

Substituindo C=0 e D = -e^-pi/2 na solução geral, obtemos
y(x) = e^xl(0cdotcos(2x) - e^-pi/2sin(2x)r) = -e^-pi/2,e^xsin(2x) = -e^,x - pi/2sin(2x)

Resposta

y(x) = -e^,x - pi/2sin(2x)

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