3 ( 2 , 0 pts.) Mostre, usando a definição, que lim x 2(2 x^2-3 x+3)=5.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição formal de límite, que
limxto2l(2x^2-3x+3r)=5
O conteúdo aqui é limite de função real e usaremos a definição epsilon de<a: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-2|<de<a, então l|f(x)-5r|<varepsilon, onde f(x)=2x^2-3x+3.

Passo 2

Calculemos a diferença entre f(x) e o valor limite proposto:
l|f(x)-5r| =l|2x^2-3x+3-5r| =l|2x^2-3x-2r| =l|(x-2)(2x+1)r| =lvert x-2rvert;lvert 2x+1rvert

Passo 3

Para controlar o fator lvert2x+1rvert, restrinjamos x a um intervalo em torno de 2. Seja
de<a1 = 1
Se lvert x-2rvert<de<a1, então 1<x<3 e
3<2x+1<7 Longrightarrow lvert2x+1rvert<=7
Logo, sempre que lvert x-2rvert<de<a1, vale
l|f(x)-5r|<=7,lvert x-2rvert

Passo 4

Agora dado varepsilon>0, basta escolher
de<a = minl1,;varepsilon/7r
Então, se 0<lvert x-2rvert<de<a, temos simultaneamente lvert x-2rvert<1 e
l|f(x)-5r|<=7,lvert x-2rvert<7,de<a<=7cdotvarepsilon7=varepsilon
Isso prova a condição epsilon de<a da definição de limite.

Resposta

limxto2l(2x^2-3x+3r)=5

Exercícios relacionados