Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a EDO linear de 3ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
:
com condições
,
e
.
O conteúdo é resolução de EDO não homogênea por variação de parâmetros, após achar a solução geral da homogênea.
O conteúdo é resolução de EDO não homogênea por variação de parâmetros, após achar a solução geral da homogênea.
Passo 2
Encontramos primeiro a solução geral da equação homogênea
A equação característica é
logo as raízes são
,
,
. A solução fundamental é
Passo 3
Para a solução particular usamos variação de parâmetros. Assumimos
com as restrições
onde
y1=e^t ,
y2=cos t ,
y3=sin t .
Passo 4
Calculamos o Wronskiano
Passo 5
Pela regra de Cramer obtemos as derivadas:
Passo 6
Integramos de
0 a
t escolhendo
ui(0)=0 , para que
yp(0)=yp'(0)=yp''(0)=0 :
Então
Passo 7
A solução geral é
Como escolhemos
ui(0)=0 , as condições iniciais incidem só em
C1,C2,C3 .
Passo 8
Impondo
Daí ,
.