Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=sec t ; y(0)=2, y^prime(0)= -1, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a EDO linear de 3ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo sec t:
y''' - y'' + y' - y = sec t,
com condições y(0)=2, y'(0)=-1 e y''(0)=1.
O conteúdo é resolução de EDO não homogênea por variação de parâmetros, após achar a solução geral da homogênea.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução geral da equação homogênea
y''' - y'' + y' - y = 0
A equação característica é
lambda^3 - lambda^2 + lambda - 1 = (lambda-1)(lambda^2+1)=0,
logo as raízes são lambda=1, lambda=i, lambda=-i. A solução fundamental é
yh(t) = C1 e^t + C2cos t + C3sin t

Passo 3

Para a solução particular usamos variação de parâmetros. Assumimos
yp(t) = u1(t)e^t + u2(t)cos t + u3(t)sin t
com as restrições
u1'y1 + u2'y2 + u3'y3 = 0, u1'y1' + u2'y2' + u3'y3' = 0, u1'y1'' + u2'y2'' + u3'y3'' = sec t,
onde y1=e^t, y2=cos t, y3=sin t.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W(t)= det e^t & cos t & sin t e^t & -sin t & cos t e^t & -cos t & -sin t =2e^t

Passo 5

Pela regra de Cramer obtemos as derivadas:
u1'(t)=sec t2e^t, u2'(t)=tfrac12,sec tl(sin t-cos tr), u3'(t)=-tfrac12,sec tl(sin t+cos tr)

Passo 6

Integramos de 0 a t escolhendo ui(0)=0, para que yp(0)=yp'(0)=yp''(0)=0:
u1(t)=tfrac12integral0^te^-ssec s,ds, u2(t)=tfrac12integral0^tsec sl(sin s-cos sr),ds,
u3(t)=-tfrac12integral0^tsec sl(sin s+cos sr),ds
Então
yp(t)=u1(t)e^t+u2(t)cos t+u3(t)sin t

Passo 7

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1e^t+C2cos t+C3sin t +u1(t)e^t+u2(t)cos t+u3(t)sin t
Como escolhemos ui(0)=0, as condições iniciais incidem só em C1,C2,C3.

Passo 8

Impondo
Daí , .

Resposta

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