Apresente exemplos de colagem de funções h(x)=llf(x) & , se x <= p, g(x) & , se x>p de modo que:
f, g e h são contínuas;

Passo 1

O enunciado define a função colada
h(x)= f(x),&se x<= p, g(x),&se x>p,
e pede exemplos em que f, g e h são todas contínuas. O conteúdo aqui é o “método de colagem” (ou “gluing”), que exige que cada ramo seja contínuo e que eles se igualem no ponto de transição x=p.

Passo 2

Para que h seja contínua em x=p precisamos de
  1. f contínua em p, logo limxto p^-f(x)=f(p).
  2. g contínua em p, logo limxto p^+g(x)=g(p).
  3. Igualdade dos valores no ponto de colagem:
f(p)=g(p)
Com isso,
limxto p^-h(x)=f(p)=g(p)=limxto p^+h(x)=h(p),
e h é contínua em p.

Passo 3

Vamos dar dois exemplos não triviais com pontos de colagem diferentes:
Exemplo 1: ponto p=0. Defina
f(x)=sin(x)+1, x<=0,
g(x)=e^x, x>0
Aqui f e g são contínuas em todo R e
f(0)=sin(0)+1=1, g(0)=e^0=1,
logo f(0)=g(0) e h é contínua.
Exemplo 2: ponto p=1. Defina
f(x)=x^2+1, x<=1,
g(x)=x+1, x>1
Ambas são funções polinomiais (logo contínuas) e
f(1)=1^2+1=2, g(1)=1+1=2,
satisfeita a condição de colagem, o que garante a continuidade de h.

Resposta

Exemplo 1:
h(x)= sin(x)+1,&x<=0, e^x,&x>0
Exemplo 2:
h(x)= x^2+1,&x<=1, x+1,&x>1

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