Resolva as integrais:
integral x-2 raizx+1+42 raizx+1(x+2)(raizx+1+1) d x

Passo 1

A questão pede para calcular
integral x - 2raizx+1 + 42raizx+1,(x+2),(raizx+1+1),dx
O conteúdo aqui é substituição para eliminar a raiz e depois frações parciais. Vamos usar a troca de variável t = raizx+1.

Passo 2

Fazendo t = raizx+1 temos
x = t^2 - 1, dx = 2t,dt, raizx+1 = t, x+2 = t^2+1, raizx+1+1 = t+1

Passo 3

Substituindo tudo na integral original:
integral x - 2raizx+1 + 42raizx+1,(x+2),(raizx+1+1),dx = integral (t^2-1)-2t+42t,(t^2+1),(t+1);2t,dt
O fator 2t de dx cancela o 2t do denominador, sobrando
integral t^2 - 2t + 3(t+1)(t^2+1),dt

Passo 4

Fazemos frações parciais:
t^2 - 2t + 3(t+1)(t^2+1) = At+1 + Bt + Ct^2+1
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes obtém-se
A=3, B=-2, C=0
Logo
t^2 - 2t + 3(t+1)(t^2+1) = 3t+1 - 2tt^2+1

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 3t+1,dt = 3ln|t+1|, integral -2tt^2+1,dt = -lnl(t^2+1r)
Portanto
integral t^2 - 2t + 3(t+1)(t^2+1),dt = 3ln|t+1| - lnl(t^2+1r) + C

Passo 6

Voltando a x pela relação t = raizx+1, temos t^2+1=x+2. Assim
3lnl(raizx+1+1r)-ln(x+2)+C

Resposta

boxed3lnl(raizx+1+1r) ;-;ln(x+2) + C

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