Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime prime-y^prime=csc t ; y(pi / 2)=2, y^prime(pi / 2)= 1, y^prime prime(pi / 2)=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução de valor inicial do problema
y''' - y' = csc t, yl(tfracpi2r)=2,; y'l(tfracpi2r)=1,; y''l(tfracpi2r)=-1
O conteúdo aqui envolve resolver uma EDO linear de terceira ordem não homogênea com coeficientes constantes, usando redução de ordem (porque csc t é derivada de algo simples) e depois variação de parâmetros para a parte de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea
y''' - y' = 0
A equação característica é
r^3 - r = r(r^2-1)=0 ;Longrightarrow; rin0,1,-1
Logo a parte homogênea é
yh(t) = C1 + C2 e^t + C3 e^-t

Passo 3

Repare que csc t = ddtl[ln!l(tan(tfrac t2)r)r].
Logo integramos a equação original uma vez:
integrall(y''' - y'r),dt = y'' - y = ln!l(tan(tfrac t2)r) + K,
onde K é constante de integração.
Podemos absorver K na parte homogênea (é solução de y''-y=0), então ficamos com
y'' - y = ln!l(tan(tfrac t2)r)

Passo 4

Agora resolvemos
y'' - y = F(t), F(t)=ln!l(tan(tfrac t2)r)
por variação de parâmetros. Duas soluções da homogênea y''-y=0 são y1=e^t e y2=e^-t. O Wronskiano é
W = e^t & e^-t e^t & -e^-t = -2
A solução particular pode ser escrita como
yp(t) = 12gl[ e^tintegralpi/2^t e^-s,ln!l(tan(tfrac s2)r),ds ;-; e^-tintegralpi/2^t e^s,ln!l(tan(tfrac s2)r),ds gr]
Escolhemos limites de integração em s=pi/2 para que essas integrais se anulem em t=pi/2, facilitando o encaixe das condições iniciais.

Passo 5

A solução geral da terceira ordem fica
Em
Chamando , resolvemos
Das duas últimas equações vem
Então da primeira,

Resposta

boxed y(t) =3 - e^pi2-t ;+; 12gl[ e^tintegralpi/2^t e^-s,ln!l(tan(tfrac s2)r),ds ;-; e^-tintegralpi/2^t e^s,ln!l(tan(tfrac s2)r),ds gr]

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