Apresente exemplos de colagem de funções
de modo que:
e
são deriváveis.
Passo 1
O enunciado pede que a gente construa funções
de modo que
,
e
sejam todas deriváveis em
. Para isso precisamos garantir que
e
sejam differentiáveis separadamente e que a “cola” em
seja suave, isto é,
seja
em
.
Passo 2
Para que
seja derivável em
precisamos de duas condições de colagem (condições de classe
):
A primeira garante continuidade de
em
e a segunda garante que o lado esquerdo e o lado direito de
coincidam em
.
Passo 3
Exemplo 1 (caso trivial, duas retas idênticas). Seja arbritrário
e definamos
Então
logo
é derivável em toda parte.
Passo 4
Exemplo 2 (colagem de quadrática com reta). Tome
e defina
Verificamos
e
Assim
é contínua e tem derivada única em
.
Passo 5
Exemplo 3 (colagem que conserva só o
). Em
defina
Então
e
A segunda derivada em
pode não coincidir, mas
é perfeitamente derivável (classe
) em
.
Resposta
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3: