Apresente exemplos de colagem de funções h(x)=llf(x) & , se x <= p, g(x) & , se x>p de modo que:
f, g e h são deriváveis.

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa funções
h(x)= f(x),&se x<= p, g(x),&se x>p,
de modo que f, g e h sejam todas deriváveis em R. Para isso precisamos garantir que f e g sejam differentiáveis separadamente e que a “cola” em x=p seja suave, isto é, h seja C^1 em p.

Passo 2

Para que h seja derivável em x=p precisamos de duas condições de colagem (condições de classe C^1):
f(p)=g(p), f'(p)=g'(p)
A primeira garante continuidade de h em p e a segunda garante que o lado esquerdo e o lado direito de h'(x) coincidam em x=p.

Passo 3

Exemplo 1 (caso trivial, duas retas idênticas). Seja arbritrário p e definamos
f(x)=2x+1, g(x)=2x+1
Então
f(p)=2p+1=g(p), f'(x)=2=g'(x),
logo h é derivável em toda parte.

Passo 4

Exemplo 2 (colagem de quadrática com reta). Tome p=1 e defina
f(x)=x^2, g(x)=2x-1
Verificamos
f(1)=1^2=1, g(1)=2cdot1-1=1,
e
f'(x)=2ximplies f'(1)=2, g'(x)=2implies g'(1)=2
Assim h é contínua e tem derivada única em x=1.

Passo 5

Exemplo 3 (colagem que conserva só o C^1). Em p=1 defina
f(x)=x^3, g(x)=x^3+(x-1)^4
Então
f(1)=1^3=1, g(1)=1+(1-1)^4=1,
e
f'(x)=3x^2implies f'(1)=3, g'(x)=3x^2+4(x-1)^3implies g'(1)=3+0=3
A segunda derivada em p pode não coincidir, mas h é perfeitamente derivável (classe C^1) em x=1.

Resposta

Exemplo 1:
h(x)= 2x+1,&x<= p, 2x+1,&x>p
Exemplo 2:
h(x)= x^2,&x<=1, 2x-1,&x>1
Exemplo 3:
h(x)= x^3,&x<=1, x^3+(x-1)^4,&x>1

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