Em certa região, o potencial eletrostático é dado por V(r, z)=-A / r+B ln (C z), com A, B e C constantes positivas e r=raizx^2+y^2. Encontre a densidade de carga dessa região.
1

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial eletrostático
V(r,z) = -Ar + B ln(C z)
com r=raizx^2+y^2 e pede a densidade de carga rho(r,z). Como em eletrostática vale a equação de Poisson
nabla^2 V = -rhovarepsilon0,
vamos calcular o Laplaciano de V em coordenadas cilíndricas (sem dependência em phi) e depois usar rho = -varepsilon0nabla^2 V.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, para uma função V(r,z) sem dependência em phi,
nabla^2 V = 1rpartialpartial r!l(r,partial Vpartial rr) + partial^2 Vpartial z^2

Passo 3

Primeiro a derivada parcial de V em relação a r:
partial Vpartial r = partialpartial rl(-A,r^-1r) = A,r^-2
Logo
r,partial Vpartial r = rcdot A,r^-2 = Ar,
partialpartial r!l(r,partial Vpartial rr) = partialpartial rl(Arr) = -Ar^2,
e portanto a parte radial do Laplaciano é
1rpartialpartial r!l(r,partial Vpartial rr) = -Ar^3

Passo 4

Agora a derivada segunda em relação a z. Como
V(r,z) = dots + Bln(Cz)
temos
partial Vpartial z = B,1z, partial^2 Vpartial z^2 = -,B,1z^2

Passo 5

Somando as duas partes, o Laplaciano de V é
nabla^2 V = -Ar^3 ;-;Bz^2

Passo 6

Pela equação de Poisson, rho = -varepsilon0nabla^2 V, obtemos
rho(r,z) = varepsilon0l(Ar^3 + Bz^2r)

Resposta

rho(r,z)=varepsilon0l(Ar^3+Bz^2r)

Exercícios relacionados