Em certa região, o potencial eletrostático é dado por
, com
e
constantes positivas e
. Encontre a densidade de carga dessa região.
1
1
Passo 1
O enunciado nos dá o potencial eletrostático
com
e pede a densidade de carga
. Como em eletrostática vale a equação de Poisson
vamos calcular o Laplaciano de
em coordenadas cilíndricas (sem dependência em
) e depois usar
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, para uma função
sem dependência em
,
Passo 3
Primeiro a derivada parcial de
em relação a
:
Logo
e portanto a parte radial do Laplaciano é
Passo 4
Agora a derivada segunda em relação a
. Como
temos
Passo 5
Somando as duas partes, o Laplaciano de
é
Passo 6
Pela equação de Poisson,
, obtemos