Um tanque contém inicialmente 120 litros de água salgada. Uma mistura contendo uma concentração de 10 gramas/litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litro/min e a solução, bem misturada, sai do tanque à mesma taxa. Sabendo que inicialmente havia 800 gramas de sal no tanque, determine uma função que modele a quantidade de sal no tanque após
segundos.
Passo 1
Temos um tanque com volume constante de
L, onde entra e sai solução à mesma vazão. O enunciado pede a quantidade de sal
em gramas após
segundos. O conteúdo é um problema de mistura que leva a uma EDO linear de primeira ordem. Vamos precisar:
- Converter a vazão de entrada/saída de litros por minuto para litros por segundo.
- Montar a equação diferencial para
. - Resolver essa EDO usando fator integrante ou método de coeficiente a determinar.
Passo 2
Converter vazão: a vazão é
L/minuto, ou seja,
Concentração de entrada é
g/L, logo taxa de entrada de sal é
A concentração na saída é
g/L e a vazão de saída é
L/s, portanto taxa de saída de sal é
Logo a EDO é
Passo 3
Escrevemos a EDO em forma padrão:
A solução geral é soma da solução homogênea
com uma particular constante
. Tomando
constante, teremos
Portanto
Passo 4
Usamos a condição inicial: em
havia
g de sal, logo
Substituindo em
fica
Resposta
A função que modela a quantidade de sal após
segundos é