Um tanque contém inicialmente 120 litros de água salgada. Uma mistura contendo uma concentração de 10 gramas/litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litro/min e a solução, bem misturada, sai do tanque à mesma taxa. Sabendo que inicialmente havia 800 gramas de sal no tanque, determine uma função que modele a quantidade de sal no tanque após t segundos.

Passo 1

Temos um tanque com volume constante de 120 L, onde entra e sai solução à mesma vazão. O enunciado pede a quantidade de sal S(t) em gramas após t segundos. O conteúdo é um problema de mistura que leva a uma EDO linear de primeira ordem. Vamos precisar:
  1. Converter a vazão de entrada/saída de litros por minuto para litros por segundo.
  2. Montar a equação diferencial para S(t).
  3. Resolver essa EDO usando fator integrante ou método de coeficiente a determinar.

Passo 2

Converter vazão: a vazão é 2 L/minuto, ou seja,
2\;\frac{\mathrm{L}}{\min} = \frac{2}{60}\;\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{s}} = \frac{1}{30}\;\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{s}}.
Concentração de entrada é 10 g/L, logo taxa de entrada de sal é
10\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}\times\frac{1}{30}\;\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{s}} =\frac{1}{3}\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{s}}.
A concentração na saída é \tfrac{S(t)}{120} g/L e a vazão de saída é \tfrac{1}{30} L/s, portanto taxa de saída de sal é
\frac{S(t)}{120}\times\frac{1}{30} =\frac{S(t)}{3600}\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{s}}.
Logo a EDO é
\frac{dS}{dt} =\frac{1}{3}-\frac{S}{3600}.

Passo 3

Escrevemos a EDO em forma padrão:
\frac{dS}{dt}+\frac{1}{3600}S=\frac{1}{3}.
A solução geral é soma da solução homogênea S_h(t)=K\,e^{-t/3600} com uma particular constante S_p. Tomando S_p= constante, teremos
\frac{1}{3600}S_p=\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad S_p=1200.
Portanto
S(t)=1200+K\,e^{-t/3600}.

Passo 4

Usamos a condição inicial: em t=0 havia 800 g de sal, logo
800=S(0)=1200+K\quad\Longrightarrow\quad K=-400.
Substituindo em S(t) fica
S(t)=1200-400\,e^{-t/3600}.

Resposta

A função que modela a quantidade de sal após t segundos é
S(t)=1200 - 400\,e^{-t/3600}\quad(\text{g}).

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