Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime-6 y^prime+10 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=3

Passo 1

O problema é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y′(0)=3. Vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Formamos a equação característica associada a y″−6y′+10y=0, que é
r^2 - 6r + 10 = 0
Resolvendo-a, temos
r = 6 pm raiz36 - 402 = 3 pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjuntas r=3±i, a solução geral é dada por
y(t) = e^3tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 4

Vamos agora usar as condições iniciais. Primeiro, calculamos y′(t):
y'(t) = e^3tl(3C1cos t - C1sin t +3C2sin t + C2cos tr) = e^3tl((3C1 + C2)cos t + (3C2 - C1)sin tr)
Aplicando y(0)=2 dá C_1=2. Em seguida, y′(0)=3 leva a
3 = (3C1 + C2) = 3cdot2 + C2 implies C2 = -3

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = e^3tl(2cos t - 3sin tr)

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