Resolva o PVI:
Descreva o comportamento da solução quando
e
.
Descreva o comportamento da solução quando
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem
Precisaremos montar e resolver a equação característica.
Passo 2
Montamos a equação característica associada à EDO
Resolvendo-a pelo discriminante temos raízes complexas conjugadas
Passo 3
Como as raízes são
, a solução geral é dada por
Passo 4
Para determinar
e
, aplicamos as condições iniciais:
-
implica . -
Calculamos
:
Em
,
Logo
Passo 5
Analisando o comportamento assintótico:
Para
, o fator
tende a zero, então
.
Para
, o fator
cresce exponencialmente, fazendo
divergir em módulo, com oscilações.
Resposta
A solução é
Quando
,
. Quando
,
cresce sem limite em módulo, oscilando.