Resolva o PVI:
x^prime prime+4 x^prime+5 x=0, x(0)=1, x^prime(0)=0
Descreva o comportamento da solução quando t +infty e t -infty.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem
Precisaremos montar e resolver a equação característica.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à EDO
r^2 + 4r + 5 = 0
Resolvendo-a pelo discriminante temos raízes complexas conjugadas

Passo 3

Como as raízes são r = -2 pm i, a solução geral é dada por
x(t) = e^-2tl(Ccos t + Dsin tr)

Passo 4

Para determinar C e D, aplicamos as condições iniciais:
  1. x(0)=1 implica C=1.
  2. Calculamos x'(t):
x'(t) = ddtl[e^-2t(Ccos t + Dsin t)r] = e^-2tl(-2(Ccos t + Dsin t) - Csin t + Dcos tr)
Em t=0,
x'(0)= -2C + D = 0 implies -2cdot1 + D = 0 implies D=2
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x(t) = e^-2t(cos t + 2sin t)

Passo 5

Analisando o comportamento assintótico:
Para tto +infty, o fator e^-2t tende a zero, então x(t)to 0.
Para tto -infty, o fator e^-2t cresce exponencialmente, fazendo x(t) divergir em módulo, com oscilações.

Resposta

A solução é
x(t) = e^-2tl(cos t + 2sin tr)
Quando tto +infty, x(t)to 0. Quando tto -infty, x(t) cresce sem limite em módulo, oscilando.

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