Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={1,|x|<a 0,|x|>a
f(x)={1,|x|<a 0,|x|>a
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função retângulo
f(x)=
como uma integral de Fourier. Vamos usar o teorema da transformada de Fourier para funções de energia e depois reescrever como integral de Fourier inversa.
f(x)=
como uma integral de Fourier. Vamos usar o teorema da transformada de Fourier para funções de energia e depois reescrever como integral de Fourier inversa.
Passo 2
A transformada de Fourier de f(x) é definida por
Como f(t)=1 para t\in[-a,a] e zero fora, temos
Passo 3
A fórmula da transformada inversa de Fourier (normalização angular) é
Substituindo F(ω) obtemos
Passo 4
Como f(x) é par, podemos usar a forma com cosseno, reduzindo a integral dupla a uma integral de 0 a ∞. Usamos e{iωx}+e{-iωx}=2\cos(ωx) e a função \sin(ωa)/ω é par, então