Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={1,|x|<a 0,|x|>a

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função retângulo
f(x)= 1,&|x|a
como uma integral de Fourier. Vamos usar o teorema da transformada de Fourier para funções de energia e depois reescrever como integral de Fourier inversa.

Passo 2

A transformada de Fourier de f(x) é definida por
F(omega)=integral-infty^inftyf(t)e^-iomega t,dt
Como f(t)=1 para t\in[-a,a] e zero fora, temos
F(omega)=integral-a^ae^-iomega t,dt=[e^-iomega t-iomega]-a^a=e^-iomega a-e^iomega a-iomega=2sin(omega a)omega

Passo 3

A fórmula da transformada inversa de Fourier (normalização angular) é
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega
Substituindo F(ω) obtemos
f(x)=12piintegral-infty^infty2sin(omega a)omegae^iomega x,domega

Passo 4

Como f(x) é par, podemos usar a forma com cosseno, reduzindo a integral dupla a uma integral de 0 a ∞. Usamos e{iωx}+e{-iωx}=2\cos(ωx) e a função \sin(ωa)/ω é par, então
f(x)=1piintegral0^inftysin(omega a)omegacos(omega x),domega

Resposta

f(x)=12piintegral-infty^infty2sin(omega a)omegae^iomega x,domega = 1piintegral0^inftysin(omega a)omegacos(omega x),domega

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