Resolva o PVI:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI): a equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
, sujeita a
e
. Vamos usar a técnica da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial:
Passo 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Passo 4
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral é dada por
Passo 5
Agora precisamos determinar
e
usando as condições iniciais. Primeiro,
implica
Passo 6
Em seguida, derivamos
para impor
:
Passo 7
Avaliando em
e usando
:
Passo 8
Logo,
. Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do PVI.
Resposta
x(t)=e^{-2t}\bigl(\cos t + 2\sin t\bigr)