Resolva o PVI:
x^prime prime+4 x^prime+5 x=0, x(0)=1, x^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI): a equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes x''+4x'+5x=0, sujeita a x(0)=1 e x'(0)=0. Vamos usar a técnica da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial:
r^2 + 4r + 5 = 0

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot52 = -4 pm raiz-42 = -2 pm i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas -2 pm i, a solução geral é dada por
x(t) = e^-2tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 5

Agora precisamos determinar C1 e C2 usando as condições iniciais. Primeiro, x(0)=1 implica
x(0)=e^0(C1cos0 + C2sin0)=C1=1

Passo 6

Em seguida, derivamos x(t) para impor x'(0)=0:
x'(t)=ddtl[e^-2t(C1cos t + C2sin t)r] =e^-2tl[-2(C1cos t + C2sin t)+(-C1sin t + C2cos t)r]

Passo 7

Avaliando em t=0 e usando C1=1:
x'(0)= -2(1cdot1 + C2cdot0)+( -1cdot0 + C2cdot1)= -2 + C2 = 0

Passo 8

Logo, C2=2. Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI.

Resposta

x(t)=e^{-2t}\bigl(\cos t + 2\sin t\bigr)

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