Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{4 x^{2}+8 x}{(x+1)\left(x^{2}-1\right)} d x(0,4 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4 x^{2} + 8 x}{(x+1)\bigl(x^{2}-1\bigr)}\,dx
O conteúdo principal é integração de função racional por decomposição em frações parciais. Vamos reescrever o denominador, verificar que a fração é própria e depois aplicar frações parciais.

Passo 2

Note que x^{2}-1=(x-1)(x+1), logo
(x+1)\bigl(x^{2}-1\bigr) = (x+1)^{2}(x-1).
A função é própria (grau numerador =2, grau denominador =3), então podemos fazer diretamente a decomposição:
\frac{4x^{2}+8x}{(x+1)^{2}(x-1)}.

Passo 3

Montamos a forma de frações parciais
\frac{4x^{2}+8x}{(x+1)^{2}(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}.
Multiplicando tudo por (x-1)(x+1)^{2} obtemos
4x^{2}+8x = A(x+1)^{2} + B(x-1)(x+1) + C(x-1).
Expandindo e igualando coeficientes resulta o sistema
\begin{cases} A + B = 4,\\\\ 2A + C = 8,\\\ A - B - C = 0. \end{cases}
Resolvendo, achamos
A=3,\quad B=1,\quad C=2.

Passo 4

Logo a integral separa-se em
\int \frac{3}{x-1}\,dx + \int \frac{1}{x+1}\,dx + \int \frac{2}{(x+1)^{2}}\,dx.
Usamos as fórmulas
\int \frac{dx}{x-a} = \ln\bigl|x-a\bigr| + C \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{(x+1)^{2}} = -\frac{1}{x+1} + C.
Portanto
\int \frac{3}{x-1}\,dx = 3\ln\bigl|x-1\bigr|,\quad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr|,\quad \int \frac{2}{(x+1)^{2}}\,dx = -\frac{2}{x+1}.

Resposta

3\ln\bigl|x-1\bigr| \;+\;\ln\bigl|x+1\bigr| \;-\;\frac{2}{x+1} + C.

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