Calcule
, onde
é o limite da região entre os círculos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o limite (fronteira) da região entre os círculos
, e
.\n
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função integranda no formato diferencial tem
multiplicando e multiplicando . - A curva
é a fronteira do anel (região entre os círculos de raios e ). - A fronteira
é fechada (contém o círculo externo e o círculo interno).
Pergunta: calcular o valor da integral de linha indicada sobre essa fronteira.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática): vou usar o Teorema de Green porque:
- O Teorema de Green transforma uma integral de linha fechada
numa integral dupla sobre a região delimitada por . - Condição necessária:
e têm derivadas parciais contínuas na região fechada entre os dois círculos. Aqui e são suficientemente suaves (derivadas contínuas), então o teorema vale. - Observação sobre orientação: o Teorema de Green usa a fronteira orientada positivamente (contorno de
no sentido anti-horário; isso corresponde ao círculo externo no sentido anti-horário e ao círculo interno no sentido horário). Como o enunciado indica a fronteira da região, adotamos a orientação positiva padrão do teorema.
Passo 3
Aplicando o Teorema de Green: a integral de linha se transforma em integral dupla sobre
(o anel) de
. Primeiro calculamos as derivadas parciais explicitamente:
(a derivada em relação a
de
é zero porque essa função não depende de
).
Passo 4
Montamos o integrando da integral dupla:
Portanto, pelo Teorema de Green,
Passo 5
Avaliação da integral dupla usando simetria (explicação didática e motivo prático para a prova): note que a região
(o anel entre
e
) é simétrica em relação ao eixo
; para cada ponto
o ponto
também pertence a
. A função integranda
é ímpar em
(ou seja, trocando
por
o valor muda de sinal). Logo, ao integrar uma função ímpar em
sobre uma região simétrica em
, as contribuições de
e
se cancelam ponto a ponto, resultando em integral zero. Portanto
Passo 6
(Alternativa útil para conferência — polar) Se quiser confirmar com coordenadas polares: escrevendo
,
,
, o integrando fica
Integrando
de
a
dá
, então a integral dupla também é zero. Isso confirma o resultado obtido pela simetria.