Calcule \int_{\gamma}\left(x e^{-2 x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{4}+2 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y, onde \gamma é o limite da região entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\left(x e^{-2 x}\right)\,\mathrm{d}x+\left(x^{4}+2 x^{2} y^{2}\right)\,\mathrm{d}y
onde \gamma é o limite (fronteira) da região entre os círculos \,x^{2}+y^{2}=1, e \,x^{2}+y^{2}=4.\n
Informações importantes fornecidas:
  • A função integranda no formato diferencial tem P(x,y)=x e^{-2x} multiplicando \mathrm{d}x e Q(x,y)=x^{4}+2x^{2}y^{2} multiplicando \mathrm{d}y.
  • A curva \gamma é a fronteira do anel (região entre os círculos de raios 1 e 2).
  • A fronteira \gamma é fechada (contém o círculo externo e o círculo interno).
    Pergunta: calcular o valor da integral de linha indicada sobre essa fronteira \gamma.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática): vou usar o Teorema de Green porque:
  • O Teorema de Green transforma uma integral de linha fechada \displaystyle\int_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y numa integral dupla sobre a região D delimitada por \partial D.
  • Condição necessária: P e Q têm derivadas parciais contínuas na região fechada entre os dois círculos. Aqui P(x,y)=x e^{-2x} e Q(x,y)=x^{4}+2x^{2}y^{2} são suficientemente suaves (derivadas contínuas), então o teorema vale.
  • Observação sobre orientação: o Teorema de Green usa a fronteira orientada positivamente (contorno de \,D no sentido anti-horário; isso corresponde ao círculo externo no sentido anti-horário e ao círculo interno no sentido horário). Como o enunciado indica a fronteira da região, adotamos a orientação positiva padrão do teorema.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Green: a integral de linha se transforma em integral dupla sobre D (o anel) de \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}. Primeiro calculamos as derivadas parciais explicitamente:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}+2x^{2}y^{2}\bigr)=4x^{3}+4x y^{2},
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{-2x}\bigr)=0
(a derivada em relação a y de x e^{-2x} é zero porque essa função não depende de y).

Passo 4

Montamos o integrando da integral dupla:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=4x^{3}+4x y^{2}=4x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Portanto, pelo Teorema de Green,
\int_{\gamma}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\iint_{D}\bigl(4x^{3}+4x y^{2}\bigr)\,\mathrm{d}A=\iint_{D}4x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\mathrm{d}A.

Passo 5

Avaliação da integral dupla usando simetria (explicação didática e motivo prático para a prova): note que a região D (o anel entre r=1 e r=2) é simétrica em relação ao eixo y; para cada ponto (x,y)\in D o ponto (-x,y) também pertence a D. A função integranda 4x(x^{2}+y^{2}) é ímpar em x (ou seja, trocando x por -x o valor muda de sinal). Logo, ao integrar uma função ímpar em x sobre uma região simétrica em x, as contribuições de x e -x se cancelam ponto a ponto, resultando em integral zero. Portanto
\iint_{D}4x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\mathrm{d}A=0.

Passo 6

(Alternativa útil para conferência — polar) Se quiser confirmar com coordenadas polares: escrevendo x=r\cos\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2}, \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta, o integrando fica
4x(x^{2}+y^{2})\,\mathrm{d}A = 4(r\cos\theta)\cdot r^{2}\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = 4 r^{4}\cos\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Integrando \theta de 0 a 2\pi \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta=0, então a integral dupla também é zero. Isso confirma o resultado obtido pela simetria.

Resposta

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