Encontre uma solução para o problema do valor inicial dado por y′′′+12y′′+36y′=0 com as condições y′′(0)=−7,y′(0)=1,y(0)=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial $ y’’’ + 12y’’ + 36y’ = 0 $ com as condições iniciais $ y’’(0) = -7 $, $ y’(0) = 1 $ e $ y(0) = 0 $. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica e usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em sua forma característica. Para uma equação como $ y’’’ + 12y’’ + 36y’ = 0 $, substituímos $ y^{(n)} $ por $ r^n $, ficando:
Isso é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação. Primeiro, fatoramos um $ r $:
Então, uma raiz é $ r = 0 $. Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 + 12r + 36 = 0 $. O discriminante $ \Delta = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0 $, o que indica que temos uma raiz dupla. Calculando:
Então, temos as raízes: $ r_1 = 0 $ e $ r_2 = r_3 = -6 $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, escrevemos a solução geral da equação diferencial. Como temos uma raiz simples $ r_1 = 0 $ e uma raiz dupla $ r_2 = r_3 = -6 $, a solução geral fica:
Aqui, $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes. Primeiramente, sabemos que $ y(0) = 0 $:
Então, $ C_1 + C_2 = 0 $ (1).
Agora, derivamos $ y(t) $ para achar $ y’(t) $:
Avaliando em $ t = 0 $:
Então, $ -6C_2 + C_3 = 1 $ (2).
Finalmente, derivamos novamente para achar $ y’’(t) $:
Avaliando em $ t = 0 $:
Então, $ 36C_2 - 12C_3 = -7 $ (3).
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações:
- $ C_1 + C_2 = 0 $
- $ -6C_2 + C_3 = 1 $
- $ 36C_2 - 12C_3 = -7 $
Da equação (1), podemos expressar $ C_1 = -C_2 $.
Da equação (2), isolamos $ C_3 $:
Substituímos $ C_3 $ na equação (3):
Agora, substituímos $ C_2 $ de volta para achar $ C_3 $:
E de $ C_1 = -C_2 $:
Resposta
Substituindo as constantes na solução geral, temos:
Ou, de forma simplificada:
Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.