Encontre uma solução para o problema do valor inicial dado por y′′′+12y′′+36y′=0 com as condições y′′(0)=−7,y′(0)=1,y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial $ y’’’ + 12y’’ + 36y’ = 0 $ com as condições iniciais $ y’’(0) = -7 $, $ y’(0) = 1 $ e $ y(0) = 0 $. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica e usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em sua forma característica. Para uma equação como $ y’’’ + 12y’’ + 36y’ = 0 $, substituímos $ y^{(n)} $ por $ r^n $, ficando:
y''' + 12y'' + 36y' = 0
Isso é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação. Primeiro, fatoramos um $ r $:
r
Então, uma raiz é $ r = 0 $. Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 + 12r + 36 = 0 $. O discriminante $ \Delta = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0 $, o que indica que temos uma raiz dupla. Calculando:
r(r^2 + 12r + 36) = 0
Então, temos as raízes: $ r_1 = 0 $ e $ r_2 = r_3 = -6 $.

Passo 4

Com as raízes encontradas, escrevemos a solução geral da equação diferencial. Como temos uma raiz simples $ r_1 = 0 $ e uma raiz dupla $ r_2 = r_3 = -6 $, a solução geral fica:
r1 = 0
Aqui, $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes. Primeiramente, sabemos que $ y(0) = 0 $:
y(0) = 0
Então, $ C_1 + C_2 = 0 $ (1).
Agora, derivamos $ y(t) $ para achar $ y’(t) $:
y(0) = C1 + C2 + 0 = 0
Avaliando em $ t = 0 $:
C1 + C2 = 0
Então, $ -6C_2 + C_3 = 1 $ (2).
Finalmente, derivamos novamente para achar $ y’’(t) $:
y(t)
Avaliando em $ t = 0 $:
y'(t)
Então, $ 36C_2 - 12C_3 = -7 $ (3).

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
  1. $ C_1 + C_2 = 0 $
  2. $ -6C_2 + C_3 = 1 $
  3. $ 36C_2 - 12C_3 = -7 $
Da equação (1), podemos expressar $ C_1 = -C_2 $.
Da equação (2), isolamos $ C_3 $:
C1 + C2 = 0
Substituímos $ C_3 $ na equação (3):
-6C2 + C3 = 1
36C2 - 12C3 = -7
C1 = -C2
C3
C3 = 1 + 6C2
Agora, substituímos $ C_2 $ de volta para achar $ C_3 $:
C3
E de $ C_1 = -C_2 $:
36C2 - 12(1 + 6C2) = -7

Resposta

Substituindo as constantes na solução geral, temos:
y(t) = 536 + (-536) e^-6t + 16 t e^-6t
Ou, de forma simplificada:
y(t) = 536 (1 - e^-6t) + 16 t e^-6t
Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

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