Obtenha a imagem do vetor ( 3, 4) em relação a transformação linear definida por T:R2 → R2 tal que T(x,y) = ( 2x - y, x y)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! O enunciado pede para encontrar a imagem do vetor (3, 4) usando a transformação linear $ T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ definida por $ T(x, y) = (2x - y, x + y) $. Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares que mapeiam vetores de um espaço para outro. Para resolver isso, vamos simplesmente aplicar a transformação ao vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor que queremos transformar, que é $ \mathbf{v} = (3, 4) $. A transformação $ T $ está definida por duas fórmulas:
Isso significa que, para qualquer vetor $ (x, y) $, aplicamos essas operações para encontrar a imagem desse vetor sob a transformação $ T $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação $ T $ ao nosso vetor $ \mathbf{v} = (3, 4) $. Substituímos $ x $ por 3 e $ y $ por 4 nas fórmulas de $ T $:
Passo 4
Vamos calcular cada componente da imagem separadamente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Passo 5
Então, após realizar as operações, obtemos a nova coordenada do vetor transformado:
Resposta
A imagem do vetor $ (3, 4) $ pela transformação linear $ T $ é $ (2, 7) $.