Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+4 y^prime+3 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A questão dá uma equação com derivadas e algumas condições iniciais. Para resolver, vamos precisar entender equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma função $ y(t) $ que satisfaça a equação e as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. A equação é:
y'' + 4y' + 3y = 0
A equação característica é obtida substituindo $ y $ por $ e^{rt} $, o que nos dá:
y
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 4r + 3 = 0 $, podemos fatorar:
r^2 + 4r + 3 = 0
Então, as raízes são:
(r + 1)(r + 3) = 0
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial será:
r1 = -1 e r2 = -3
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição: $ y(0) = 2 $
C1
Então, temos:
C2 çã
Segunda condição: $ y’(0) = -1 $
Primeiro, vamos derivar $ y(t) $:
y(0) = 2
Aplicando $ t = 0 $:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 2
Então:
C1 + C2 = 2 (Equação 1) çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 2 C1 + 3C2 = 1
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
(C1 + 3C2) - (C1 + C2) = 1 - 2 2C2 = -1 Rightarrow C2 = -12
Substituindo $ C_2 $ na Equação 1:
C2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 52 e^-t - 12 e^-3t

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