Encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A questão dá uma equação com derivadas e algumas condições iniciais. Para resolver, vamos precisar entender equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma função $ y(t) $ que satisfaça a equação e as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. A equação é:
A equação característica é obtida substituindo $ y $ por $ e^{rt} $, o que nos dá:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 4r + 3 = 0 $, podemos fatorar:
Então, as raízes são:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial será:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição: $ y(0) = 2 $
Então, temos:
Segunda condição: $ y’(0) = -1 $
Primeiro, vamos derivar $ y(t) $:
Primeiro, vamos derivar $ y(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Então:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo $ C_2 $ na Equação 1:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: