Um ponto
se move em um plano de modo que
e
para todo
. Expresse
como função de
sabendo que
e
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto $ P(x, y) $ que se move em um plano com duas taxas de variação: $ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} $ e $ \frac{dy}{dt} = 2t - 4 $. Queremos encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $, ou seja, expressar $ y $ como função de $ x $. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a integração das derivadas fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar $ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} $ para encontrar $ x $ em função de $ t $.
Como $ t \geq 0 $, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos integrar $ \frac{dy}{dt} = 2t - 4 $ para encontrar $ y $ em função de $ t $.
Passo 4
Temos as condições iniciais: quando $ t = 2 $, $ x = \ln 2 $ e $ y = 1 $. Vamos usar essas informações para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ x(t) $:
Então,
Passo 5
Para $ y(t) $:
Então,
Passo 6
Agora, queremos expressar $ y $ em função de $ x $. Sabemos que $ x = \ln t $. Vamos resolver para $ t $:
Passo 7
Substituímos $ t = e^{x} $ na expressão de $ y(t) $:
Resposta
A função $ y $ em termos de $ x $ é: