Um ponto P(x, y) se move em um plano de modo que d xd t=1t e d yd t=2 t-4 para todo t >= 0. Expresse y como função de x sabendo que x=ln 2 e y=1 quando t=2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto $ P(x, y) $ que se move em um plano com duas taxas de variação: $ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} $ e $ \frac{dy}{dt} = 2t - 4 $. Queremos encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $, ou seja, expressar $ y $ como função de $ x $. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a integração das derivadas fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar $ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} $ para encontrar $ x $ em função de $ t $.
dxdt = 1t
Como $ t \geq 0 $, podemos simplificar para:
x

Passo 3

Agora, vamos integrar $ \frac{dy}{dt} = 2t - 4 $ para encontrar $ y $ em função de $ t $.
dydt = 2t - 4

Passo 4

Temos as condições iniciais: quando $ t = 2 $, $ x = \ln 2 $ e $ y = 1 $. Vamos usar essas informações para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ x(t) $:
t = 2
Então,
x = ln 2

Passo 5

Para $ y(t) $:
y(t)
Então,
1 = (2)^2 - 4(2) + C2 implies 1 = 4 - 8 + C2 implies C2 = 5

Passo 6

Agora, queremos expressar $ y $ em função de $ x $. Sabemos que $ x = \ln t $. Vamos resolver para $ t $:
y

Passo 7

Substituímos $ t = e^{x} $ na expressão de $ y(t) $:
t = e^x

Resposta

A função $ y $ em termos de $ x $ é:
y

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