Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+8 y^prime-9 y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: \
$$y’’ + 8y’ - 9y = 0\
$$
com condições iniciais $y(1)=1$ e $y’(1)=0$. Vamos precisar montar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada é $r^2 + 8r - 9 = 0$. Resolvendo: \
$$r = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4\cdot1\cdot(-9)}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2}\
$$
Isso dá as raízes $r_1 = 1$ e $r_2 = -9$.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é \
[y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-9t}.\

Passo 4

Derivando para impor a segunda condição, temos \
$$y’(t) = C_1 e^{t} - 9C_2 e^{-9t}.\
$$
Aplicando $t=1$ em $y$ e $y’$ gera o sistema: \
[ y'(t) = C1 e^t - 9C2 e^-9t \

Passo 5

Resolvendo o sistema, da segunda equação sai $C_1 = 9C_2 e^{-10}$. Substituindo na primeira: \
$$9C_2 e^{-9} + C_2 e^{-9} = 1 \implies 10C_2 e^{-9} = 1 \implies C_2 = \frac{e^9}{10}.\
$$
Então $C_1 = \frac{9}{10e}$. Substituindo em $y(t)$ obtemos a solução particular.

Passo 6

A solução final, que satisfaz as condições iniciais, é:

Resposta

$ y(t) = 910e^t-1 + 110e^9(1-t)

Exercícios relacionados