Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+8 y^prime-9 y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Escolha uma opção:
y=2raiz33 exp [(raiz33-1) t4]-2raiz33 exp [(-raiz33-1) t4]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem:
l y^prime prime+8 y^prime-9 y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
O conteúdo envolvido aqui são equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
y^prime prime + 8 y^prime - 9 y = 0
Para resolver esse tipo de equação, fazemos a chamada equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo $ y = e^{rt} $.

Passo 3

A equação característica correspondente é:
r^2 + 8 r - 9 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática $ r^{2} + 8 r - 9 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 8 r - 9 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 8 $, e $ c = -9 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Portanto, as raízes são:
a = 1

Passo 5

Com as raízes $ r_{1} = 1 $ e $ r_{2} = -9 $, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes:
r1 = 1

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeiro, aplicamos $ y(1) = 1 $:
C1
Em seguida, derivamos a solução para encontrar $ y’(t) $:
C2
E aplicamos a condição $ y’(1) = 0 $:
y(1) = 1

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações:
C1 e + C2 e^-9 = 1 C1 e - 9 C2 e^-9 = 0
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Multiplicando a segunda equação por $ e^{9} $:
C1
Da primeira equação:
C2
Substituindo na equação $ C_{1} e^{10} = 9 C_{2} $:
e^9
Levando todos os termos com $ C_{1} $ para um lado:
C1 e e^9 - 9 C2 = 0 Rightarrow C1 e^10 = 9 C2
Isolando $ C_{1} $:
C1 e + C2 e^-9 = 1 Rightarrow C2 = e^9 (1 - C1 e)
E, portanto:
C1 e^10 = 9 C2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 910 e e^t + e^910 e^-9 t

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