Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+8 y^prime-9 y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Escolha uma opção:
y=-1-e^-3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma equação diferencial linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes, dada por y’’ + 8y’ − 9y = 0, com condições y(1)=1 e y’(1)=0. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 8r - 9 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação de 2º grau em r:
r = -8 pm raiz8^2 - 4cdot1cdot(-9)2 = -8 pm raiz64 + 362 = -8 pm 102

Passo 4

Logo encontramos as raízes reais distintas:
r1 = 1, r2 = -9

Passo 5

A solução geral da EDO homogênea é, então,
y(t) = C e^r1 t + D e^r2 t = C e^t + D e^-9t

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C e D. Primeiro,
y(1) = C e^1 + D e^-9 = 1

Passo 7

Em seguida, derivamos y(t):
y'(t) = C e^t - 9D e^-9t,
e aplicamos y’(1)=0:
y'(1) = C e^1 - 9D e^-9 = 0

Passo 8

Temos o sistema:
C e + D e^-9 = 1,C e - 9D e^-9 = 0

Passo 9

Subtraindo a segunda equação da primeira:
(C e + D e^-9) - (C e - 9D e^-9) = 1 - 0 implies 10D e^-9 = 1 implies D = 110e^9

Passo 10

Em seguida, da segunda equação C e = 9D e^{-9}, temos:
C e = 9cdot110e^9cdot e^-9 = 910 implies C = 910e

Passo 11

Portanto, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
y(t) = 910ee^t + 110e^9e^-9t = 910e^t-1 + 110e^9(1-t)

Resposta

y(t) = \frac{9}{10}e^{t-1} + \frac{1}{10}e^{9(1-t)}

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