Encontre a solução do problema de valor inicial:
Escolha uma opção:
y=-1-e^-3 t
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma equação diferencial linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes, dada por y’’ + 8y’ − 9y = 0, com condições y(1)=1 e y’(1)=0. Vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo essa equação de 2º grau em r:
Passo 4
Logo encontramos as raízes reais distintas:
Passo 5
A solução geral da EDO homogênea é, então,
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C e D. Primeiro,
Passo 7
Em seguida, derivamos y(t):
e aplicamos y’(1)=0:
Passo 8
Temos o sistema:
Passo 9
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 10
Em seguida, da segunda equação C e = 9D e^{-9}, temos:
Passo 11
Portanto, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
Resposta
y(t) = \frac{9}{10}e^{t-1} + \frac{1}{10}e^{9(1-t)}