Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Nesse exercício a gente quer resolver o problema de valor inicial da equação diferencial de terceira ordem
com as condições
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Para encontrar as soluções, montamos o polinômio característico da equação homogênea:
Passo 3
Resolvendo o polinômio:
temos as raízes
(multiplicidade 2) e
. Assim, as soluções fundamentais são
,
e
. A solução geral fica
Passo 4
Agora calculamos as derivadas pra aplicar as condições iniciais:
Passo 5
Aplicando as condições em
:
- De
: . - De
: . - De
: .
Resolvendo esse sistema vem
Passo 6
Substituindo na solução geral, obtemos
que a gente costuma escrever como
Passo 7
Resposta
y(x) = 8e^{2x} - 16x - 8