Encontre a solução do problema de valor inicial
c y^(3)-2 y^prime prime=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=32

Passo 1

Nesse exercício a gente quer resolver o problema de valor inicial da equação diferencial de terceira ordem
y^(3) - 2y'' = 0
com as condições
y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=32
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Para encontrar as soluções, montamos o polinômio característico da equação homogênea:
r^3 - 2r^2 = 0

Passo 3

Resolvendo o polinômio:
r^2(r - 2) = 0
temos as raízes r=0 (multiplicidade 2) e r=2. Assim, as soluções fundamentais são e^0x=1, x e^0x=x e e^2x. A solução geral fica
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^2x

Passo 4

Agora calculamos as derivadas pra aplicar as condições iniciais:
y'(x) = C2 + 2 C3 e^2x,
y''(x) = 4 C3 e^2x

Passo 5

Aplicando as condições em x=0:
  • De y(0)=0: C1 + C3 = 0.
  • De y'(0)=0: C2 + 2C3 = 0.
  • De y''(0)=32: 4C3 = 32.
    Resolvendo esse sistema vem
C3 = 8,
C2 = -16,
C1 = -8

Passo 6

Substituindo na solução geral, obtemos
y(x) = -8 -16x + 8e^2x,
que a gente costuma escrever como

Passo 7

y(x) = 8e^2x - 16x - 8

Resposta

y(x) = 8e^{2x} - 16x - 8

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