Use o Método da Variação dos Parâmetros ou o Método dos Coeficientes a Determinar para resolver duas das EDO’s Lineares não-homogêneas de 2^{\underline{a}} ordem dadas abaixo:
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{cosec} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear não-homogênea de 2ª ordem
y'' + y = \csc x
usando o método da variação dos parâmetros. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da homogênea associada, depois aplicar as fórmulas de variação dos parâmetros usando as duas soluções fundamentais.

Passo 2

A homogênea é
y'' + y = 0.
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = \pm i. Logo as duas soluções fundamentais são
y_1(x) = \cos x, \qquad y_2(x) = \sin x.

Passo 3

No método da variação dos parâmetros definimos
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x)
com as condições auxiliares
\begin{cases} u'_1\,y_1 + u'_2\,y_2 = 0,\\\ u'_1\,y_1' + u'_2\,y_2' = \csc x. \end{cases}
O Wronskiano vale
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ - \sin x & \cos x \end{vmatrix} = 1.

Passo 4

Das fórmulas gerais temos
u'_1 = -\,\frac{y_2\;\csc x}{W} = -\,\sin x\;\csc x = -1,
u'_2 = \frac{y_1\;\csc x}{W} = \cos x\;\csc x = \cot x.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1(x) = \int u'_1\,dx = \int (-1)\,dx = -x + C_1,
u_2(x) = \int u'_2\,dx = \int \cot x\,dx = \ln\!\bigl|\sin x\bigr| + C_2.
Para qualquer particular basta escolher C_1=C_2=0.

Passo 6

O particular fica
y_p(x) = (-x)\cos x + \bigl(\ln|\sin x|\bigr)\sin x = -x\cos x + \sin x\;\ln|\sin x|.
Assim a solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = A\cos x + B\sin x - x\cos x + \sin x\,\ln|\sin x|.

Resposta

y(x) = A\cos x + B\sin x - x\cos x + \sin x\,\ln\bigl|\sin x\bigr|.

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