Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 4 y^prime prime-8 y^prime+3 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=12
Escolha uma opção:
y=12 e^t3-8 e^t2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
4y'' - 8y' + 3y = 0, y(0)=2, y'(0)=tfrac12
O conteúdo é equações diferenciais de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes e vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Para montar a equação característica, substituímos y=e^rt (pois essa função transforma derivadas em multiplicações por r), o que leva a
4r^2 - 8r + 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 8 pm raiz64 - 488 = 8 pm 48,
logo r1 = tfrac32 e r2 = tfrac12.

Passo 3

Como as raízes são distintas e reais, a solução geral é
y(t) = C1 e^32 t + C2 e^12 t
Isso ocorre porque exponenciais com expoentes diferentes formam uma base para o espaço de soluções.

Passo 4

Para encontrar C1 e C2, usamos as condições iniciais. De y(0)=2 vem
C1 + C2 = 2
Calculamos então
y'(t) = tfrac32 C1 e^32 t + tfrac12 C2 e^12 t,
e aplicamos y'(0)=tfrac12, obtendo
tfrac32 C1 + tfrac12 C2 = tfrac12
Multiplicando por 2 dá
3C1 + C2 = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2, 3C1 + C2 = 1,
subtraindo as equações achamos 2C1 = -1 e assim C1 = -tfrac12. Logo C2 = 2 - C1 = 2 + tfrac12 = tfrac52. Substituindo em y(t) obtemos
y(t) = -tfrac12 e^32 t + tfrac52 e^12 t

Resposta

y(t) = -tfrac12 e^32 t + tfrac52 e^12 t

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