Encontre a solução do problema de valor inicial:
Escolha uma opção:
y=12 e^t3-8 e^t2
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é equações diferenciais de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes e vamos usar a técnica da equação característica.
Passo 2
Para montar a equação característica, substituímos
y=e^rt (pois essa função transforma derivadas em multiplicações por
r ), o que leva a
Usando a fórmula de Bhaskara:
logo
r1 = tfrac32 e
r2 = tfrac12 .
Passo 3
Como as raízes são distintas e reais, a solução geral é
Isso ocorre porque exponenciais com expoentes diferentes formam uma base para o espaço de soluções.
Passo 4
Para encontrar
C1 e
C2 , usamos as condições iniciais. De
y(0)=2 vem
Calculamos então
e aplicamos
y'(0)=tfrac12 , obtendo
Multiplicando por 2 dá
Passo 5
Resolvendo o sistema
subtraindo as equações achamos
2C1 = -1 e assim
C1 = -tfrac12 . Logo
C2 = 2 - C1 = 2 + tfrac12 = tfrac52 . Substituindo em
y(t) obtemos