Ache o centroide das áreas limitadas pelas seguintes curvas.
y=x^2 e y=x^3 com rho(x)=x

Passo 1

Temos uma lâmina limitada pelas curvas y=x^2 e y=x^3 no intervalo de interseção 0<= x<=1, com densidade variável rho(x)=x. Para achar o centroide de uma lâmina não homogênea, vamos usar as fórmulas
M=integral duplaR rho(x),dA, bar x=1Mintegral duplaR x,rho(x),dA, bar y=1Mintegral duplaR y,rho(x),dA

Passo 2

Calculamos a massa M fazendo a integral dupla em ordem dy,dx:
M=integralx=0^1integraly=x^3^x^2x,dy,dx
Primeiro a integral em y:
integralx^3^x^2x,dy = xl(x^2-x^3r)=x^3-x^4
Depois em x:
M=integral0^1(x^3-x^4),dx=l[tfracx^44-tfracx^55r]0^1=tfrac14-tfrac15=tfrac120

Passo 3

Agora calculamos o numerador para bar x:
integral duplaR x,rho(x),dA=integral0^1integralx^3^x^2xcdot x,dy,dx =integral0^1(x^4-x^5),dx =l[tfracx^55-tfracx^66r]0^1=tfrac15-tfrac16=tfrac130

Passo 4

Agora calculamos o numerador para bar y:
integral duplaR y,rho(x),dA=integral0^1integralx^3^x^2ycdot x,dy,dx =12integral0^1l(x^5-x^7r),dx =12l[tfracx^66-tfracx^88r]0^1=12l(tfrac16-tfrac18r)=tfrac148

Passo 5

Finalmente, as coordenadas do centroide são
bar x=1/301/20=2030=23, bar y=1/481/20=2048=512

Resposta

O centroide fica em l(tfrac23,,tfrac512r).

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