Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Apresente um contraexemplo ou uma justificativa para as falsas.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja f:[-1,5] R contínua exceto em x=1. Se f(2)=7 e f(3)=1, então existe c in(-1,5) com f(c)=2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:[-1,5]toR contínua em todo o domínio, exceto em x=1, e que f(2)=7 e f(3)=1. Queremos saber se existe cin(-1,5) tal que f(c)=2. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

Para aplicar o TVI precisamos de uma continuidade de f no intervalo fechado que conecta os pontos onde conhecemos os valores. Observamos que o ponto de descontinuidade x=1 não pertence ao intervalo [2,3], logo f é contínua em [2,3].

Passo 3

Como f(2)=7 e f(3)=1, o valor 2 satisfaz
1 = f(3) < 2 < f(2) = 7
e está estritamente entre f(3) e f(2). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um cin(2,3)subset(-1,5) tal que f(c)=2.

Resposta

Verdadeiro. Pelo Teorema do Valor Intermediário aplicado em [2,3], como f é contínua nesse intervalo e 2 está entre f(3)=1 e f(2)=7, existe c∈(2,3) com f©=2.

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