O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
– Equação: 4y''-8y'+3y=0
– Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=12
Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada substituindo y=e^rt:
4r^2-8r+3=0
Essa é uma quadrática em r.
Passo 3
Resolvendo 4r^2-8r+3=0 pelo discriminante:
De
Então
r = 8 pm raiz162cdot4 = 8pm48
Logo os dois raízes são r1=tfrac32 e r2=tfrac12.
Passo 4
A solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais:
y(t)=C1e^tfrac32t+C2e^tfrac12t
Passo 5
Agora usamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=C1+C2=2
Derivando:
y'(t)=32C1e^tfrac32t+12C2e^tfrac12t
Em t=0 isso dá
32C1+12C2=12
Multiplicando por 2: 3C1+C2=1.
Passo 6
Resolvendo o sistema
C1+C2=2, 3C1+C2=1,
subtraindo as equações, obtemos 2C1=-1 logo C1=-tfrac12 e então C2=2-(-tfrac12)=tfrac52.
Passo 7
Portanto a solução do problema de valor inicial é
y(t)=-12e^tfrac32t+52e^tfrac12t
A opção y=e^-t-e^-3t não satisfaz nem a equação característica nem as condições iniciais, então está incorreta.