Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 4 y^prime prime-8 y^prime+3 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=12
Escolha uma opção:
y=e^-t-e^-3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
– Equação: 4y''-8y'+3y=0
– Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=12
Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada substituindo y=e^rt:
4r^2-8r+3=0
Essa é uma quadrática em r.

Passo 3

Resolvendo 4r^2-8r+3=0 pelo discriminante:
De
Então
r = 8 pm raiz162cdot4 = 8pm48
Logo os dois raízes são r1=tfrac32 e r2=tfrac12.

Passo 4

A solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais:
y(t)=C1e^tfrac32t+C2e^tfrac12t

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=C1+C2=2
Derivando:
y'(t)=32C1e^tfrac32t+12C2e^tfrac12t
Em t=0 isso dá
32C1+12C2=12
Multiplicando por 2: 3C1+C2=1.

Passo 6

Resolvendo o sistema
C1+C2=2, 3C1+C2=1,
subtraindo as equações, obtemos 2C1=-1 logo C1=-tfrac12 e então C2=2-(-tfrac12)=tfrac52.

Passo 7

Portanto a solução do problema de valor inicial é
y(t)=-12e^tfrac32t+52e^tfrac12t
A opção y=e^-t-e^-3t não satisfaz nem a equação característica nem as condições iniciais, então está incorreta.

Resposta

y(t)=-\tfrac{1}{2}e{\tfrac{3}{2}t}+\tfrac{5}{2}e{\tfrac{1}{2}t}

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