Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Apresente um contraexemplo ou uma justificativa para as falsas.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Se f, g:[a, b] R têm o mesmo gráfico exceto em 1 ponto, então elas têm o mesmo conjunto de pontos de continuidade.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Temos duas funções f e g definidas em [a,b] que coincidem em todo ponto, exceto em um x₀. A pergunta é se o conjunto de pontos de continuidade de f e g é necessariamente o mesmo. Vamos usar a definição de continuidade (limite igual ao valor da função) e construir um contraexemplo.

Passo 2

Construção do contraexemplo: Escolhe o intervalo [0,1] e define
f(x)=0forall xin[0,1],
g(x)= 0,&xneq0.5, 1,&x=0.5
Note que f e g têm o mesmo gráfico em todos os pontos, exceto em x=0.5.

Passo 3

Análise da continuidade de f: Como f é a função constante zero, para qualquer c em [0,1],
limxto cf(x)=0=f(c),
logo f é contínua em todo [0,1].

Passo 4

Análise da continuidade de g: Se c≠0.5 então g(x) é zero num vizinho de c e g©=0, logo
limxto cg(x)=0=g(c),
e g é contínua em c. Mas em c=0.5 temos
limxto0.5g(x)=0neq g(0.5)=1,
portanto g é descontínua em 0.5.

Passo 5

Conclusão: f e g coincidem em todos os pontos, exceto em 0.5, porém f é contínua em todo [0,1] e g falha em ser contínua em 0.5. Assim o conjunto de continuidade difere.

Resposta

Falso. As funções constantes f e g acima mostram que, mesmo trocando o valor num único ponto, pode mudar o conjunto de pontos de continuidade.

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